Voir la turbulence

 

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Le probleme de la turbulence a été longuement étudie dans le domaine de l'astronomie, par les professionnels, mais aussi par les amateurs.

Nous pourrons pour se faire une idée précise on peut se referer à la bibliographie en fin de cette page.

Les quelques simulations et expériences présentées ici ont pour but, quelque peu aberrant, de s'intéresser non pas à l'observation des objets du ciel,

mais à l'effet que la turbulence provoque sur la déformation de ces images. 

En d'autres termes, pour rappeler le vieil adage bien connu des astronomes : "lorsque le sage montre la lune, l'idiot regarde le doigt". 

Eh bien ici j'ai choisi de regarder pourquoi le doigt nous masque la Lune....

Pour illustrer mon propos, 2 images des webcams de l'observatoire du pic du midi, dont l'une a été prise après une tempête de glace, permettent de bien comprendre l'idée : 

TBL par beau temps

TBL après une tempête 

(vitre couverte de glace)

Il s'agit donc ici de regarder non pas la coupole du Telescope Bernard Lyot, mais la couche de glace deposee sur la vitre devant la camera, qui provoque une variation spatiale

de l'indice de refraction, et qui nous le masque le telescope sur l'image de droite.

Le problème aborde est donc celui de l'analyse de front d'onde par deconvolution directe en connaissant a priori la PSF.

Ce problème dejà largement aborde dans le milieu professionnel, fait l'objet des videos en fin de cette page.

Replaçons le problème dans son contexte : 

Formation des images sans turbulence

Considerons une image filtree (quasi monochromatique) d'etoile en dehors de l'atmosphère, donc en dehors de la turbulence.     

La taille angulaire d'une etoile vue depuis la terre (quelques milliarcsecondes), est petite devant la limite de resolution theorique des telescopes. 

On peut donc considerer que l'onde emise par une source ponctuelle placee a l'infini, est une onde plane. L'image formee au foyer d'un telescope exempt 

de defauts (astigmatisme, coma, defocus, tilt, etc....) dont l'ouverture est parfaitement circulaire est alors appellee fonction d'etalement du point 

(Point Spread Function ou PSF en anglais), ou bien reponse impulsionnelle du telescope. 

Cette reponse impulsionnelle se deduit des lois de la diffraction et conduit dans le cas d'une ouverture circulaire, à ce que nous connaissont bien sous le nom de tache d'Airy.

 

Simulation d'une tache d'Airy dans un telescope parfait

Propagation des rayons au voisinage du Foyer

 

         Le diamere de la tache d'Airy est connu  :                                          (1)

 

         Pour les specialistes, la reponse impulsionnelle correspond au carre du module de la transformee de Fourier de l'amplitude complexe de l'onde dans la pupille d'entree (aie aie aie). 

          Nous y reviendront plus loin, car cette definition risque de nous etre tres utile (on va d'ailleurs le demontrer)...

          Dans la pratique, le télescope n'est jamais parfait. Il existe toujours des aberrations telles que celles que nous avons listes precedemment. Nous considereront dans ce qui suit que si la

          deformation du front d'onde par le telescope est suffisamment faible pour que tout les rayons issus de la pupille soient concentres au foyer dans la tache d'Airy. C'est ce que l'on

         le critere de Raleigh. 

 

Formation des images  Avec turbulence : Si le telescope est situe au niveau du sol, les couches atmospheriques perturbent le front d'onde incident, qui arrive 

sur la pupille du telescope, en n'etant plus du tout plan.

Déformation du Front d'onde dans l'atmosphère Définition du paramètre de Fried

 

           Le passage de l'onde incidente au travers de bulles d'air chaud ou froid (donc d'indices optiques différents) déforme le front d'onde en provoquant l'apparition

 de creux et de bosses dont la durée de vie est de l'ordre de quelques millisecondes à quelques dizaines de millisecondes.

           D.L. Fried en 1965 défini une grandeur caractéristique de la déformation du front d'onde [4], la "Paramètre de Fried r0", qui représente "le diamètre de l'optique

 idéale limitée par la diffraction dont la réponse impulsionnelle aurait le même diamètre que la réponse impulsionnelle longue pose de l'optique considérée

 limitée par la turbulence. Elle correspond globalement au diamètre maximal de la surface de la pupille pour laquelle la surface d'onde peut être considérée

 comme plane" [6].

           

Simulation d'une tache d'Airy dans un t?escope parfait

Sans Turbulence

Simulation d'une tache d'Airy dans un t?escope parfait

Avec Turbulence

Propagation des rayons au voisinage du Foyer

Avec turbulence

 

L'échantillonnage est de 0.065"/pixels pour les simulations, ce qui correspond aux conditions de prise de vue des vidéo suivantes au T60 du pic du midi

 

           Nous voyons ici l'apparition du phénomène de tavelures que nous avons observé notamment dans le cadre de l'étude des étoiles doubles. Mais dans les simulations

           présentées, nous avons considéré cas idéal d'un front d'onde bossellé dont la moyenne arrive perpendiculairement à l''axe optique. Une acquisition d'images réelles

           montre aussi une  composante de turbulence appel? Tip/tilt qui se traduit par la variation d'incidence moyenne du front d'onde.  Au foyer,  l'image se déplace selon 

l'axe X et l'axe Y de manière aléatoire. 

          Dans l'étude suivante nous utiliseront les images de la séquence vidéo de l'expérience, recentrées par intercorrelation pour compenser le tip/tilt.

          Le tableau suivant nous montre une séquence vidéo de tavelures obtenues sur l'étoiles Véga, à l'aide d'une caméra EMCCD Merlin EM247 pose unitaire de 40ms, 

par tirage oculaire sur le T60 du pic du midi, Filtre Halpha de 13nm de Bande passante, Gain à 3%. Les additions successives nous montrent l'effet de l'étalement 

de la PSF au cours d'une pose longue :

 

1 image seule

Pose unitaire=40ms

Addition de 10 images

Pose équivalente=400ms

Addition de 50 images

Pose équivalente=2s

Addition de 200 images

Pose équivalente=8s

Addition de 500 images

Pose équivalente=20s

Addition de 700 images

Pose équivalente=28s

1 image seule

Pose unitaire=40ms

Recentrage par intercorrelation

Addition de 10 images

Pose équivalente=400ms

Recentrage par intercorrelation

Addition de 50 images

Pose équivalente=2s

Recentrage par intercorrelation

Addition de 200 images

Pose équivalente=8s

Recentrage par intercorrelation

Addition de 500 images

Pose équivalente=20s

Recentrage par intercorrelation

Addition de 700 images

Pose équivalente=28s

Recentrage par intercorrelation

 

On constate immédiatement que l'ensemble des phénomènes de turbulence provoque un étalement de la réponse impulsionnelle. En premier lieu, il convient de décomposer 

la turbulence en 2 phénomènes principaux [2] : Les effets de Tip/Tilt, et les ordres de turbulence supérieur, pour  avoir les déformations que nous avons définies plus haut.

Les images de la deuxième partie du tableau nous montrent que la réponse impulsionnelle, compensée du tip/tilt, au cours d'une pose longue, tend vers la réponse

instrumentale propre du télescope (indépendante du temps puisque la turbulence se moyenne avec le temps). Nous verrons plus loin qu'une approche mathématique 

rigoureuse confirme ce constat. Le tip/tilt horizontal intègre aussi les erreurs de suivi de la monture.

L'étalement de la réponse impulsionnelle avec et sans la compensation du tip/tilt peut être clairement vue sur le profil de l''étoile : 

 

Sans Compensation du tip/tilt

Avec Compensation du tip/tilt

Largeur a mi hauteur de la PSF dans les 2 cas

 

Donc la largeur à mi hauteur de la réponse impulsionnelle compensée du tip/tilt avoisine, dans le cas de notre vidéo, 2"6. Pour mémoire, en utilisant la relation (1), le 

T60 du pic du midi est censé pouvoir produire, en l'absence de turbulence, une tache d'Airy d'un diamètre a mi-hauteur proche de 0.2" d'arc de diamètre. On est donc loin du compte. 

Le diamètre de la tache de Fried à la longueur d'onde du filtre utilisé correspond à un instrument de 58mm de diamètre(à comparer ce soir la avec les valeurs de plaines plutôt

voisines de 40 mm, le ciel n'était pas franchement bon....).

En considérant les differentes contributions de la turbulence et des défauts optiques (obtenu en utilisant l'hypothèse statistique que la turbulence est a 

moyenne constante [6]), nous pouvons comparer expérimentalement les images issues de la vidéo et une simulation de l'image théorique de l'étoile :

 

Image 1 : Simulation psf T60 hors turbulence

Image 2 :  PSF moyenne T60 défauts optiques

(moyennée dans le temps)

Image 3 : PSF instantanée T60 avec turbulence Image 4 : Pose longue sur l'?étoile (20s)

 

L'image 3 correspond donc à la réponse impulsionnelle instantanée de l'ensemble télescope-atmosphère à l'image d'une source ponctuelle. L'image 4 est la somme de toutes 

les réponses impulsionnelles prises aux différents instants d'une pose de 20 secondes. L'image 3 est représentative de la déformation du front d'onde par l'atmosphère, c'est à dire 

par la fonction de structure de phase de l'onde .

 

Est-il possible alors, en partant d'une image de type "Image 3", de remonter à la constitution du front d'onde au niveau de la pupille ? La réponse est oui, et passe par un formalisme

mathématique un peu indigeste.  

Attention, le paragraphe suivant est technique, pour ceux que les maths rebutent, le résultat de la première étape de traitement est disponible  plus bas.

 

 

Rentrons dans le détail mathématique de la constitution de l'image 3 si nous voulons remonter à la structure de la phase de l'onde :

 

Appelons Ii(a) l'image de l'objet obtenue à l'instant i (l'image 3 en est un exemple) au foyer du télescope. Soit O(a) l'objet, l'image s'écrit mathématiquement :

     (2)

a est le vecteur angulaire sous lequel est vu chaque points de la source.

L'image est le résultat du produit de convolution (*)de l'objet observé  par ,   la réponse impulsionnelle de l'ensemble télescope/atmosphère à l'instant i. 

Cette réponse impulsionnelle est considérée constante dans un intervalle angulaire que l'on appelle le domaine d'isoplanétisme. Cet angle est généralement de quelques

secondes d'arc au maximum.  

Le principe de l'opération de convolution entre 2 images est une opération consistant à reconstruire une troisième image en faisant glisser l'image 1 sur l'image 2 pixel à pixel

et en prenant, à chaque décalage, la multiplication des 2 images d?al?s. Elle se traduit mathématiquement sous la forme : 

Cette opération n'est pas triviale, mais elle traduit la construction de l'image au foyer du télescope. 

Fort heureusement, pour simplifier les calculs, il est possible de traduire cette opération de convolution en simple produit de 2 images si l'on exécute une transformée de Fourier

de chacune de ces expressions. L'expression 3 devient  : 

 

(4)

avec les fréquences de l'image en x et en y, le signe ~ représentant l'opération de transformation de Fourier. 

    La transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle , qui pour les spécialistes est aussi l'autocorréation de l'amplitude complexe de l'onde dans la pupille, est appelée

  fonction de transfert optique. Son expression instantanée est [8]: 

(5)

 

La fonction pupille est à symétrie radiale (pupille généralement sphérique). Elle est définie en fonction de son rayon r sous la forme : 

P(r)=1 si r<R 

P(r)=0 si r>R 

(avec D=2.R le diamètre du télescope)

La fonction pupille est donc une fonction réelle (Phase nulle) et constante dans le temps.

 

 

Or la réponse impulsionnelle , valable dans le plan de la pupille, n'est autre que l'autocorréation de la fonction au facteur 1/S près. Soit :

Or par le th?r?e de Wiener-Khinchine, la transformée de Fourier du module du carré de la TF d'une fonction est l'autocorrélation de cette fonction. Nous pouvons écrire : 

L'expression de la fonction g après transformation de Fourier s'écrit : 

Le module au carré de la fonction G est donc : 

D'ou

Dans l'espace de Fourier (pupille)

(6) Dans l'espace image (Foyer)

En négligeant le phénomène de scintillation, la fonction g(r,t) peut s'écrire sous forme complexe : En appelant A(r) la transformée de Fourier de g :

 

(7a) nous avons alors : (7b)

La fonction d'étalement Si est le carré du module de l'amplitude de A(r,t). 

Il reste alors à déinir une technique permettant de passer de la connaissance de Si à la connaissance de , la structure de phase de l'onde.  Différents algorithmes ont été

proposés, le plus classique est l'algorithme de Gercherg et Saxton ([6] et [10]). Cet algorithme est basé sur l'application itérative de contraintes dans l'espace pupillaire et dans

l'espace image.

 

 

Nous devons donc spécifier les conditions de départ de l'algorithme : 

 

Expérimental

(Module)

Théorique initial

(Module)

Plan Pupille

(TF-1 du 

plan focal)

Plan Focal

(TF du 

plan pupille)

 

Dans le cas qui nous intéresse ici, nous avons l'énorme avantage de posséder une connaissance a priori de l'Objet. En effet, l'objet est une étoile non résolue, autrement dit 

une fonction  de Dirac. Pour la transformée de Fourier, cela signifie que la TF de O est une constante. Autrement dit, la connaissance de I nous donne directement la 

connaissance de S :

(8)

On peut donc détailler sur une image exemple le fonctionnement de l'algorithme (Module et phase sont bornés par la fonction pupille aussi appelée OTP) :

 

Image de l'objet (Espace focal) Pupille (Espace de Fourier)  Distorsion au plan focal (Espace Focal)
Module Phase

Module 1

Phase FFT-1() Fin de la premi?e it?ation
Itération 2 : Itération 2 : Itération 2 :
Module Phase Module 1 Phase
Itération 3 : Itération 3 : Itération 3 :
Module Phase Module 1 Phase   etc..........

    

La valeur du module A'(r,t) est constante, car il s'agit d'appliquer à la fonction une transformée de Fourier inverse. Le résultat de chaque itérations sera donc multiplié;

par l'image de départ, , pour redémarrer l'itération   suivante. La convergence est montrée plus bas.

 

 

 

En résumé, l'image obtenue au foyer correspond a la convolution de l'objet par la réponse impulsionnelle de l'ensemble télescope/atmosphère (Relation (4)).

Cette réponse impulsionnelle est le produit de la pupille du télescope, affecté des défauts du front d'onde bosselés par la turbulence (relation (6)).

La connaissance de la fonction pupille "a priori" par modélisation ou par extraction dans une image non affectée par la turbulence, nous permet de retrouver la réponse 

impulsionnelle (relation (8)), et par un calcul approprié de la valeur de la phase au niveau de la pupille.

Nous pouvons donc, par l'algorithme de reconstruction de Gerchberg et Saxton, retrouver la structure du front d'onde en moins d'une trentaine d'itérations, 

La reconstruction de phase montre des discontinuités qui sont dues aux passages de la phase en dehors de l'intervalle 0-2Pi. C'est ce que l'on appelle une phase repliée. 

Nous pouvons vérifier la convergence vers la solution itérative en observant le tableau suivant : 

 

Module

Argument de

 

Les résultats obtenus (redimensionné d'un facteur 2) sont donc éloquents : 

 

Phase d'entrée de la pupille 

Intervalle 0-2Pi

Modulation obtenue au foyer

(=vitre couverte de glace)

 

Donc l'image de droite correspond à l'équivalent de la couche de glace vue sur les clichés du début de cette page. L'étoile est vue au travers de cette couche d'indice de 

réfraction variable, produisant les tavelures obtenue sur les images individuelles. Ces variations d'indices provoquent les fluctuations de phases obtenues sur l'image de gauche.

L'image de gauche est une image de la phase dans un intervalle de phase compris entre -Pi et Pi. Cette reconstruction de phase est en fait entachée de discontinuitées

due au mode de calcul de la phase (s'écrit en fait cos(phi)+j.sin(phi) avec phi compris entre 0 et 2Pi modulo 2Pi). Ce phénomène est très bien décrit par Takeda, 

Ina et Kobayashi [11], et peut être résumé sur le schéma suivant : 

 

 

La courbe Phid(x,y) en rouge correspond à la distribution de phase comportant des discontinuités dues au mode de calcul des valeurs principales. La courbe bleue, Phi0(x,y) 

représente les offsets de phase à Pi près pour la correction des discontinuités. Le profil que nous cherchons à récupérer est donc celui de la courbe phic(x,y).

L'identification des lignes de discontinuités peut être obtenue par la calcul du Laplacien de l'image :

 

 

Différents auteurs ont longuement travaillé sur le problème du dépliement de phase afin de reconstruire le front d'onde complet dans des domaines aussi variés que la synthèse 

d'ouverture radar, l'imagerie par résonance magnétique nucléaire, l'interférométrie des tavelures, la mesure des indices de réfraction optique ... 

 

La réalisation d'un outils informatique de dépliement de la phase, sur la base de la référence [14] est en cours de réalisation. Nous pouvons toutefois, essayer avant cela, 

essayer de voir les phases repliée sur une séquence vidéo complète... 

 

Image au foyer Module pupille Phase Pupille Distortion au Foyer

 

La première image est celle de l'étoile avec un pose de 40ms, entachée de ses tavelures. Pour être exact, il s'agit de la racine carrée de l'image originale puisque c'est 

cette image qui est nécessaire au calcul.

La deuxième image correspond au module de l'intensité l'onde à l'arrivée dans la pupille d'entrée .

La troisième image en partant de la gauche est l'image de la phase de l'onde, c'est le complémentaire de cette image (dépliée en dehors de l'espace 0-2Pi) 

qui sert, dans une boucle d'optique adaptative à piloter un miroir déformable (consigne obtenue dans une vrai OA par un shack Hartmann).

La dernière image a droite correspond à la distorsion de la tache d'Airy après passage dans le milieu turbulent et déformation du front lors de l'arrivée dans la pupille.

 

La cadence vidéo originale est de 25ips. Pour voir précisément l'évolution du front d'onde, les vidéos sont ralenties a 5 images par secondes.

 

On a donc numériquement, pendant la séquence vidéo, extrait la distorsion de la réponse impulsionelle de l'ensemble télescope-atmosphère.

 

La même expérience peut être menée pour un télescope de plus petit diamètre. Une séquence vidéo réalisée au LX200 est présentée en suivant : 

 

Image au foyer Module pupille Phase Pupille Distortion au Foyer

 

Les conditions d'acquisitions sont rigoureusement les mêmes. Nous pouvons donc remonter sans trop de soucis à la structure du front d'onde provoquant la distorsion de la PSF.

 

Alors a quoi cela sert-t-il ? Peut-on bâtir une optique adaptative numérique en utilisant ces méthodes ?

La réponse est nuancée ?. 

Dans un premier temps, la méthode est un traitement vidéo à posteriori. Le processus de calcul est difficile à mettre en oeuvre dans une optique adaptative en raison de la

vitesse de calcul qui serait nécessaire pour compenser en temps réel la turbulence (plus particulièrement dans le calcul du dépliement de la phase).

Le deuxième problème est que l'angle d'isoplanétisme, autrement dit la dimension angulaire sous laquelle la déformation du front d'onde peut être considérée comme constante,

ne d?asse que rarement quelques secondes a quelques dizaines de secondes. Autrement dit la connaissance de la déformation du front d'onde ne permettrait de reconstituer l'image 

parfaite que sur quelques secondes d'arc.

Le troisième point critique est qu'il faut, sur la vidéo, la présence d'une étoile assez brillante pour remonter à la réponse impulsionnelle de l'ensemble atmosphère/télescope, 

ce qui n'est pas forcément le cas de tout les objets dont nous pouvons faire une image.

 

Malgré cela, la méthode est extrêmement intéressante, car on peut a posteriori augmenter la statistique d'images possédant des détails de haute fréquence spatiale. 

L'application directe semble être bien évidemment l'imagerie planétaire.

Une méthode de déconvolution à posteriori est d'ailleurs proposé dans la référence [6] et des méthodes associées sont disponibles au travers d'algorithmes en langage Python 

aux adresses suivantes : 

 

http://code.google.com/p/aida-deconvolution/

 

Cet algorithme est d'ailleurs décrit de manière détaillée dans l'article suivant : 

 

http://aida-deconvolution.googlecode.com/files/Hom07_JOSAA.pdf

 

La méthode de déconvolution numérique ou encore " l'optique adaptative numérique a posteriori", grâce à l'arrivée des cameras EMCCD, même si elles restant encore coûteuses,

semble être une voie alternative prometteuse pour pallier aux optique adaptatives encore hors de port? des budgets de l'astronome amateur.

 

2 séquences vidéos de Saturne comportant une étoile non résolue dans le champ, sont en cours de traitement, par traitements de déconvolution linéaire (Filtrage de Wiener), et 

non linéaire (filtrage de Vancittert, maximum d'entropie et Lucy-Richardson) et si j'arrive a m'en servir par l'algorithme AIDA.

Des essais ont étés tentés par les astronomes du Capella Observatory sur les mêmes principes de déconvolutions, utilisant l'approche décrite dans la publication [15] : 

http://www.capella-observatory.com/ImageHTMLs/Scientific/Christof_Torsten.htm

L'auteur semble incriminer la très forte turbulence, mais les temps de pose des images individuelles est peut être aussi la cause de l'efficacité dégradées, bien que visible) de ces déconvolutions.

La suite des travaux nous le dira...

 

Bibliographie :

[1] D.L. FRIED "Limiting resolution looking down through the atmosph?e" 1966, Journal of the optical society of america, Vol 56 n?10 pp. 1380-1384

[2] F. RODDIER "Les effets de la turbulence atmosph?ique sur la formation des images visibles et infrarouges" 1979, Journal of optics (Paris) Vol 10, n?6, pp.299-303

[3] D.L. FRIED "Optical resolution through a randomly inhomogeneous medium for very long and very short exposures" 1965, Journal of the optical society of america, Vol 56 n?10 pp. 1372-1379

[4] D.L. FRIED "Statistic of a geometric representation of wavefront distortion" 1965, Journal of the optical society of america, Vol 55 n?11 pp. 1427-1435

[5] C.RODDIER, F. RODDIER "Seeing effect removal in a Michelson Interferometer", J. Opt. Soc. Am., vol. 66, n?12, December 1976

 

[6] J. PRIMOT "Application des techniques d'analyse de surface d'onde ?a restauration d'images d?rad?s par la turbulence atmosph?ique", Th?e de 

doctorat Universit?e Paris Sud, Mai 1989

 

[7] C. CAVADORE "Seeing and Turbulence", www.astrosurf.com/cavadore/optique/turbulence/

 

[8] C.RODDIER, F. RODDIER "Influence of the exposure time on spectral properties of the turbulence-degraded astronomical images", J. Opt. Soc. Am., vol. 65, n?6, June 1975

 

[9] P. LENA & Al "L'observation en astrophysique", EDP sciences, CNRS edition.

 

[10] MAEDA & MURATA "Retrieval of wave aberration from point spread function or optical trasfert function data", Applied Optics Vol20, n?2, January 1981

 

[11] TAKEDA, INA, KOBAYASHI "Fourier-transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry", J. Opt. Soc. Am. Vol72, n?1, January 1982

[12] HUNTLEY, BUCKLAND "Characterisation of sources of 2Pi phase discontinuity in speckle interferograms", J. Opt. Soc. Am. Vol12, n?9, January 1995

[13] HUNTLEY, BUCKLAND, TURNER  "Unwrapping noisy phase maps by use of a minimum cost matching algorithm", Applied Optics Vol34, n?23, August  1995

[14] BONE  "Fourier Fringes Analysis : the two dimensional phase problem", Applied Optics Vol30, n?25, August  1991

[15] KNOX, K. T.; THOMPSON, B. J.  "Recovery of images from atmospherically degraded short-exposure photographs",

 

 

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