La Théorie détaillée

 

- En travaux -

 

Nous allons aborder ici les notions de base permettant de comprendre quels sont les fondements de l'interférométrie optique.

Certaines notions nécessitent un bagage mathématique minimum, et je m'en excuse auprès du lecteur n'ayant pas cet acquis.

J'essaierai malgré tout de décomposer les formules en partant de notion de base de physique et de trigonométrie accessibles avec un niveau mathématique de terminale. Tout les calculs présentés ici sont des calculs sur les amplitudes et non sur les intensités (sauf indication contraires).

 

Attention, certaines démonstration et certains schéma sont encore en construction !!!

Sommaire :

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    Notions de bases sur la lumière :

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    Définition des franges d'interférences

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    Expression générale de la diffraction par une ouverture, source à l'infini

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            Exemple d'application : fente rectangulaire de dimension finie

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            Exemple d'application : fente circulaire de dimension finie

bullet    Source ponctuelle, fentes d'entrée fines
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    Source ponctuelle, fentes d'entrée large carrées

bullet    Source ponctuelle, fentes d'entrée large circulaires
bullet    Impact de la chromaticité
bullet    Source double fentes carrées
bullet    Source double fentes circulaires
bullet    Source étendue, fentes carrées
bullet    Source étendue, fentes circulaire
bullet    Interférométrie à deux télescopes
bullet    Notion de contraste de franges
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    Décomposition en série de Fourier

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     Transformée de Fourier discrète (DFT)

      et transformée de Fourier à temps discrets (DTFT)

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bullet    Transformée de Fourier d'une image
bullet    Synthèse d'ouverture

Notions de base sur la lumière :

Dans un premier temps, il faut comprendre la nature intrinsèque de la lumière pour appréhender le phénomène de l'interférence en optique.

Par définition la lumière est une radiation électro-magnétique ,c'est a dire un rayonnement faisant intervenir un champ magnétique et un champ électrique,et dont on peut étudier les effets soit par la mécanique classique (la lumière est associée à une particule : le photon) ,soit par la mécanique ondulatoire (la lumière est associée à une onde).

Chaque particule de lumière c'est à dire chaque photon est porteur d'une quantité d'énergie notée E et dont la valeur dépend des caractéristiques de l'onde associée à ce photon

La formule donnant l'énergie du photon est la suivante :

E=hn=hc/l

avec h est la constante de Planck(6.62*10-34)[J.s]

c est la vitesse de la lumière dans le vide (300000)[m.s]

n est la fréquence de l'onde [hz]

l est la longueur d'onde [m]

 

Pour expliquer ce qu'est une onde prenons l'exemple de la surface d'un liquide au repos.

Si l'on laisse tomber une goutte d'eau sur cette surface, on constate

que le liquide se recouvre de cercles concentriques (on peut voir ci dessous 1/4 des cercles concentriques et le centre d'excitation de la surface du liquide).

Si de plus on regarde cette surface par la tranche on observe le schéma ci-dessous :

   

Figure 1

La longueur d'onde est la distance ,exprimée en mètres entre deux sommets ou deux creux de cette onde.

Supposons maintenant que l'on pose un bouchon à la surface du liquide et recommençons l'expérience précédente.

Lorsque la surface du liquide entre en oscillation ,on constate que le bouchon n'est soumis qu'a des mouvements verticaux :

il ne fait que monter ou descendre sans se déplacer par rapport à sa position d'origine.

On appellera fréquence de l'onde le nombre de passage du bouchon par sa position la plus haute (ou la plus basse , ce qui revient au même) et par unité de temps. C'est en fait le nombre d'oscillation d'un point du liquide par seconde.

 

Lorsque l' on se place dans le vide ,et que l'on fait varier l'intensité d'un champ électrique et d'un champ magnétique de la même manière que l'on a fait varier la hauteur de la surface de l'eau tout à l'heure ,on produit des photons .

C'est une approche ondulatoire de la lumière (pour une approche corpusculaire, dite aussi géométrique, et dont sont issus les lois de Descartes, voir la partie Historique de l'exposé).

D'après la formule donnant la quantité d'énergie transportée par un photon ,on constate que plus la longueur d'onde associée à ce photon sera petite ,plus le photon transportera d'énergie. Le tableau suivant nous montre de quelle manière se repartissent les rayonnements en fonction des longueurs d'onde que l'on considère :

 

Figure 2

Les nombres en abscisses représente des puissances de 10 (ex: -7=>10-7). Ces longueurs sont exprimées en mètres.

La partie comprise entre l'infrarouge et l'ultra violet correspond à la lumière visible.

La fenêtre exacte de longueur d'onde est de 0.8*10-6 m(longueur d'onde du rouge) a 0.4*10-6 m(longueur d'onde du bleu)

On constate donc que la lumière visible ne représente qu'une très faible partie du "Spectre électro-magnetique".

 

Le champs électrique associé au photon est donc variable, avec sa fréquence (ou sa longueur d'onde, ce qui reviens au même). Ce champs électrique, au même titre que les ondes à la surface de l'eau, se propagent de manière concentrique par rapport à la source.

L'onde ainsi générée, est donc de forme circulaire dans le cas de notre surface liquide, mais dans le cas de la lumière, elle est sphérique à petite distance de la source. Si on se place à une distance infinie de cette source, la forme de l'onde (aussi appelé "front d'onde" n'est plus une sphère mais un plan (voir schéma si dessous).

 

Figure 3

Pour formaliser quantitativement ce qu'est une onde électromagnétique, nous devons rappeler les notions de bases que sont les fonctions trigonométriques sin(d), cos(d)

 

Schéma sin et cos

Figure 4

Par définition, le cosinus de l'angle q correspond à la valeur de l'abscisse du point intersection du cercle de rayon 1 et du segment de droite faisant un angle q avec l'axe des abscisses. Le sinus est l'ordonnée de ce même point. La deuxième définition utilisable pour les démonstrations qui vont suivre, est relative au triangle rectangle. En considérant l'angle q, le sinus est égal au rapport de la longueur du coté opposé sur la longueur de l'hypoténuse (grand coté) du triangle rectangle. Et le cosinus est le rapport du coté adjacent à l'angle sur la longueur de l'hypoténuse.

On voit donc que si l'on fait varier l'angle de 0 à 90° (soit de 0 à p en radian), le sinus varie de 0 à 1 et le cosinus varie de 1 à 0.

En supposant que l'on fasse croître l'angle q proportionnellement au temps, le point P parcours la totalité du cercle soit un angle de 2p (360°), avec une périodicité de T, soit un fréquence de n=1/T. La longueur d'onde, correspond à la distance séparant deux passages donnés du champs électrique par la même valeur (comme nous l'avons vu dans l'exemple du bouchon dans la Figure 1). Ces deux passages sont séparés dans le temps par la période T, et dans l'espace, par la longueur d'onde l. On défini alors la valeurs de la pulsation du champs électrique comme étant le coefficient permettant de calculer l'angle q en fonction du temps : q=wt (w est la pulsation). Ce coefficient w est homogène à une unité d'angle par seconde. Donc l'onde électromagnétique caractérisée par son champs électrique, si ce champs atteint une intensité maximum I0 lorsque  l'on a atteint le quart de la longueur d'onde, s'écrit :

[1a]

 

Pour simplifier certaines démonstrations, il peut être utile d'utiliser une expression plus évoluée de la valeur du champs, faisant appel aux nombres complexes. Le nombre complexes sont des nombres constitués de deux parties (une partie réelle, et une partie dit imaginaire). Les deux parties se combinent au travers d'une relation simple faisant intervenir un nombre imaginaire appelé j, dont la propriété est d'avoir un carré négatif, c'est à dire j*j=-1. Un nombre complexe s'écrit : A=a+j*b, avec a la partie réelle et b la partie imaginaire.

En utilisant les sinus et cosinus,  ont peut écrire  :

[1b]

 

Cette expression n'est autre que celle d'une exponentielle complexe se réduisant a :

[2]

 

L'utilisation des propriétés des fonctions exponentielles permet de simplifier grandement les démonstrations qui suivent.

Maintenant que nous avons posé les parties les plus indigestes, intéressons nous au phénomène des franges d'interférences et de leurs explications.

Définition des franges d'interférences

 

Le premier principe d'optique ondulatoire essentiel pour comprendre les interférences est le principe de superposition, aussi appelé principe d'Young pour les anglo-saxon, ou principe de Huygens-Fresnel pour les autres ;-).

Ce principe stipule que l'onde résultante de plusieurs sources est égale à la somme des ondes produites par chacune de ces sources. Nous avons vu précédemment, que l'expression mathématique d'un champs électrique représentatif d'une onde électromagnétique peut s'écrire sous la forme de la relation [1].

En supposant 2 sources, corrélées (synchrones dans le temps), de même longueur d'ondes, respectivement appelées I1(t) et I2(t), et placées en un point A pour I1(t) et en un point B pour I2(t), conformément à la figure 5

 

Figure 5

L'intensité résultante observée par un observateur situé au point P sera la somme des intensités émises par chacune des deux sources : I(t)=I1(t)+I2(t). Nous avons vu sur la figure 3 que si la source est à une distance suffisante du point P, le front d'onde incident peut être considéré comme un plan se déplaçant dans la direction de propagation de l'onde électromagnétique. Nous allons nous placer dans cette hypothèse.

Si nous considérons le front d'onde issu de la source la plus proche du point P (voir figure 6), les deux sources émettant des ondes parfaitement synchrone, ce front issu de  I1(t) atteindra le point P en avance sur le front issu de I2(t).

 

 

Figure 6

Si nous essayons de formaliser ces deux fronts d'onde au point P avec une relation de type [1], vu au point P, le front I2 sera en retard par rapport à I1d'un temps t'.

Nous pouvons alors écrire : 

avec d le retard spatial de I2 sur I1

L'intensité totale au point P est alors :

 

[3]

Cela se traduit par la somme des intensités instantanée au point P :

 

Figure 7

Si l'on suppose les deux ondes déphasées de la demi longueur d'onde, on voit immédiatement que les intensités s'annulent. De la même manière, si les deux ondes sont déphasées d'une longueur d'onde, les intensités sont doublées.

En supposant l'écartement des deux sources constants, nous voyons que c'est la position du point P considéré qui va déterminer la valeur du déphasage. En se déplaçant dans le plan focal, nous aurons donc un succession de points pour lesquels l'intensité sera nulle (frange sombre) et de points pour lesquels l'intensité sera de 2I0.

Les franges sombres apparaissent à chaque fois que I(t)=0. I1(t) et I2(t) doivent donc être opposés. Cela veut dire que d doit être proportionnel à l/2+2pm avec m entier relatif. Prenons le cas m=0. Le retard spatial entre les deux ondes sera d=l/2 pour obtenir une frange sombre.

Expression générale de la diffraction par une ouverture, source à l'infini

 

Nous allons ici développer le cas de la diffraction d'une onde plane par une ouverture, ce qui nous servira ensuite pour comprendre les systèmes mis en oeuvre pour générer des franges d'interférences.

Il est notable que c'est au travers de cette démonstration que nous pouvons définir le pouvoir séparateur d'un instrument, en considérant le cas d'une ouverture circulaire, qui est généralement la forme diaphragmente de nos chers télescopes, mais nous y reviendrons plus loin.

Nous allons nous placer dans le cas d'un objet ponctuel, à l'infini, de manière à générer un front d'onde plan comme nous l'avons vu sur la Figure 3. L'ouverture diaphragmente, de forme quelconque est située au plus près de la lentille objectif, mais pour les besoins de la démonstration, la figure suivante la représente légèrement en retrait.

 

Figure 8a

En vertu du principe de Huygens-Fresnel, qui stipule que chaque point M contenu dans le plan Ecran noté F se comporte comme une source ponctuelle, il suffit de faire appel à une opération mathématique appelée "intégration" sur la surface de l'écran, pour obtenir la contribution simultanée de tout les points de l'écran à l'éclairement du point P  au foyer de la lentille objectif.

Cette opération d'intégration est équivalente à la somme de l'ensemble des intensités émises par des petites fractions de l'ouverture , comme nous pouvons le voir sur la Figure 8b

 

Figure 8b

Si chaque source correspond à un petit carré de surface Ds, et que chaque point appartenant au carré émet une intensité lumineuse nous pouvons écrire la contribution de l'ensemble des sources de l'écran sous la forme :

 

Mais la Figure 8b montre clairement que la somme des petits carrés de surface ne couvre pas la totalité de notre écran. Pour remédier à cela, nous allons utiliser un élément de surface infiniment petit, s'appliquant directement à chacun des points de l'écran. Appelons cet élément dS. L'opération de somations que nous avons utilisé précédemment deviens alors ce que les mathématiciens appèlent une opération "d'intégration", et l'expression précédente deviens alors :

 

Il faut noter que l'intégrale que nous venons de définir est une intégrale de surface. Nous verrons plus loin, dans les applications pratique, à quoi cela correspond.

La somme de tout ces éléments infinitésimaux nécessite donc de connaître la contribution de chacun des éléments du diaphragme (en y incluant le déphasage de chaque sources).

En considérant la différence de chemin MH (Figure 8a), nous pouvons noter le déphasage spatial de l'onde émise par le point M, d.

Les propriétés de l'intégration font qu'il est commode d'utiliser une variante de l'expression [1b] pour exprimer l'onde électromagnétique :

k est défini comme la fraction d'amplitude par unité de surface :

 

Au point P, l'intensité de l'onde émise par M deviens alors :

 

Il ne nous reste plus qu'a définir la valeur de ce déphasage.

 

Figure 8c

Pour ce faire, nous avons besoin de définir la longueur du segment MH. Dans un premier temps, il faut rappeler

Si nous projetons le point M sur les axes de la Figure 8c, nous obtenons dans le plan de l'écran, sur les axes Ox et Oy, les cordonnées x et y du point M. Soit le vecteur le vecteur perpendiculaire au front d'onde incident P dans la direction du point P. Si nous notons a l'angle entre ce vecteur et l'axe Ox, b l'angle entre et l'axe Oy, le segment MH n'est en fait que la projection du vecteur sur la direction . Nous pouvons alors écrire la valeur du déphasage d : 

 

La quantité de lumière émise au point M par la surface infinitésimale dS, peut alors s'écrire :

[4]

 

Sachant que la surface infinitésimale dS peut être écrite sous la forme du produit de la distance infinitésimale dx par la distance infinitésimale dy (ce qui reviens au produit Dx.Dy dans le cadre de la Figure 8b pour une petit élément de surface DS).

L'intégrale de l'intensité émise par tout les points de la surface permet alors de calculer au point B l'intensités reçue. La relation [4] deviens alors la relation générale suivante :

[5]

 

La première intégrale est une intégrale de surface, le symbole de la deuxième intégrale détaille le fait que la sommation se fait a la fois le long de l'axe des x et le long de l'axe des y. On peut procéder indépendamment à l'intégration sur l'axe des x, ou sur l'axe des y. Ces intégrations combinées se font entre les valeurs extrêmes de x et de y (avec x1 et y1 les valeurs minimales, et x2 et y2 les valeurs maximales de x et de y).

Cette expression sera à la base de la plupart des démonstrations concernant les ouvertures ayant une surface non nulle.

 

    Exemple d'application : fente rectangulaire de dimension finie

 

    Considéreront le cas d'une fente décrite sur la figure suivante :

 

Figure 8d

    La largeur de la fente est a, et sa hauteur est b. L'intégrale [5] deviens  :

 

 

    Les propriétés de calcul des intégrale (niveau terminale), permettent d'écrire, en isolant les parties de l'intégrale double       concernant x et concernant y, et en écrivant le changement de variable on obtient :

 

 

    En utilisant la notation exponentielle d'un sinus, et en factorisant par (démonstration ici), on peut écrire :

 

    L'intensité I(P) deviendra alors :

 

 

    Par une seconde intégration identique à la première, mais le long de l'axe des x, on obtient le résultat pour l'amplitude :

 

 

 

    Nous avons défini plus haut, la valeur de k comme la fraction d'amplitude par unité de surface. Ceci peut s'écrire :

 

 

    La solution complète pour l'amplitude s'écrit alors :

 

[6]

 

 

Soit l'expression complète tenant compte de la pulsation temporelle :

 

[6b]

 

 

    Donc dans une direction définie par les angles b et a, une ouverture de largeur a et de hauteur b provoquera un                     éclairement au point P (point intersection du plan focal et de la droite passant par l'origine et dont la direction est définie par les angles b et a) donné par l'expression [6].

    Les simulations numériques suivantes donnent quelques exemples d'éclairement donnés par des fentes de dimensions différentes :

 

Figure 8e

 

    Un cas d'application intéressant consiste en une fente étroite infiniment haute. Considérons alors le cas b=0.

    La fonction aussi appelée sinus cardinal, à pour propriété de tendre vers 1 quand x tend vers 0. Nous     pouvons alors écrire dans notre cas particulier :

[7]

 

 

    Si nous traçons le profil en intensité obtenu dans le plan focal dans une direction parallèle à l'axe des x, nous obtenons :

 

Figure 8f

    Ce profil est a comparer avec l'image expérimentale obtenue dans la partie Franges en labo sur l'image de droite, correspondant à la diffraction par une source fente unique.

 

    Exemple d'application : fente circulaire de dimension finie

 

    Choisissons une ouverture circulaire de diamètre a. Soit O l'origine des coordonnées. Le système présente une symétrie de révolution autour de l'axe Oz (voir figure suivante).

 

Figure 8g

 

    Nous allons donc étudier les rayons diffractés par l'ouverture aux différents points P d'un rayon B0B de cette figure, rayon parallèle à Ox.

    En écrivant l'expression [5] en considérant k=1, et cos(b)=0 (c'est à dire B0B parallèle à l'axe Ox) :

 

 

 

    La fraction infinitésimale de surface que nous avons utilisée sur l'exemple précédent peut être décomposée le long d'une bande rectangulaire comme sur le schéma suivant :

Figure 8g

 

    La bande est de largeur dx et de hauteur , nous pouvons donc écrire

 

    Soit en utilisant les propriétés additives des cosinus :

 

    L'intégrale décrivant l'éclairement le long de l'axe s'écrit donc

 

    La deuxième expression de cette intégrale est une intégrale de fonction impaire dont les bornes sont symétrique par rapport à 0. Cette intégrale est donc nulle.

    Par contre la première intégrale est paire, elle est donc égale à :

 

    En écrivant le changement de variable : x=a.u, dx=a.du, 2p/l.cos(a).x=m, on obtient :

 

 

    Cette intégrale est en fait une fonction de m, dont on démontre qu'elle est égale à une fonction dite de Bessel du premier ordre, aussi notés J1(m) :

 

    L'amplitude s'écrit alors de manière simplifiée :

 

    C'est la forme bien connue du profil de la tache d'Airy, autrement dit la forme diffractée par l'ouverture de nos télescopes sur une source ponctuelle telle une étoile.

Source ponctuelle à l'infini, fente fine

 

L'idée pour générer deux sources cohérentes quasi ponctuelles formant des franges d'interférences au foyer d'un instrument d'optique, est  de diviser en deux parties le front d'onde issu d'une source ponctuelle à l'infini (c'est le cas d'une étoile). Pour ce faire, il suffit de placer un écran doté de deux fentes infiniment fines (cela reste une abstraction théorique) à l'entrée du système optique.

Figure 9

 

Nous aurons donc deux sources parfaites générant des franges d'interférences au foyer du système.

 

Figure 10

Appelons L la distance séparant les 2 sources, D la distance entre le masque diviseur et le foyer, x l'ordonnée du point P ou les intensités respectives des deux sources s'additionnent.

L'addition des intensités au point P dépend de la différence de trajet entre les deux faisceaux incidents, comme nous l'avons vu précédemment. Nous avons vu au travers de l'expression [3] que nous rappelons ici, l'expression de l'addition des intensités :

 

En utilisant l'expression exponentielle des pulsations de la source (expression [2]), on démontre que l'intensité en un point P est égale à :

 

avec et sachant que l'angle a est petit.

 

L'expression réelle de l'intensité au point P s'écrit alors :

 

avec le déphasage D s'écrivant :

(voir Figure 9)

 

Les détecteurs que sont la rétine les pellicules photo ou  n'importe quel composants CCD, sont des détecteurs sensibles au carré de l'intensité du champs électrique (ce qui est homogène à son énergie). Du point de vue mathématique, la quantité mesurable au point P est le produit de la valeur complexe du champ par sont conjugué

 

On en déduit que la quantité détectée au point P est de la forme :

[4]

 

Nous voyons donc que nous avons une expression le long du plan focal des intensités. Le rapport x/D étant petit, on peut écrire : sin(x/D)=x/D/ L'intensité évolue donc comme le carré du cosinus dans l'expression [4]. Cela nous donne une évolution des intensités de la figure suivante :

 

Figure 11

 

Source ponctuelle, fentes d'entrée large carrées

 

    Supposons deux fentes parallèles, séparées d'une distance L.

 

Figure 12

 

 

 Si l'on reprend la formule que nous avons obtenu pour une source unique ([6b]) :

 

 

 

 

La vibration diffractée ne dépend pas de la position de la fente dans le plan de la lentille. En effet, quel que soit la valeur de a et b, les cosinus directeurs de la direction dans laquelle se propage l'onde, la répartition des intensités reste centrée sur l'origine. La fonction est paire, donc symétrique par rapport à 0. Si nous considéreront la figure de diffraction obtenue séparément pour la fente S1 et pour la fente S2, chacune de ces fentes donne une image de diffraction centrée sur l'axe optique du système.

 

Soit I1(P,t), la vibration issue de S1 et I2(P,t), la vibration issue de S2. L'intensité totale au point P s'écrit alors :

 

 

 

 

 

 

Considérons les cosinus directeurs respectifs dans la direction du point P au centre de chaque fentes (cos(a1), et cos (b1) pour S1, cos(a2) et cos(b2) pour S2). Nous pouvons voir, sur la Figure 13 que cos (b1)= cos(b2)=cos(b) avec cos(b) le cosinus directeur de la direction OP. En considérant les angles petits, c'est à dire  identifiables à leur tangentes, on peut écrire la relation suivante :

Avec L la distance séparant les deux fentes.

 

 

Figure 13

L'intensité totale au point P s'écrit alors :

 

Or nous avons vu plus haut que quelque soit la position de la fente diffractante, donc quelque soit la valeur de a, l'image de diffraction est un sinus cardinal centré sur l'origine des points au foyer. Nous pouvons alors écrire :

avec a' la direction du cosinus directeur définie par le point P de coordonnée (x,y).

 

Le premier cosinus de l'expression comporte donc un terme de déphasage correspondant à une émission de l'onde incidente par la fente S1 et le deuxième terme, un déphasage de l'onde dû à une émission par la fente S2

 

Le résultat de la répartition des intensités est donc de la forme :

 

 

 

 

Avec D le diamètre des fentes d'entrée, L la distance entre les deux ouvertures et a l'angle de la figure 12.

Nous voyons donc bien que la forme de la répartition des intensités correspond à celle d'une fente infiniment fine, modulée par la figure de diffraction de la fente élargie, en l'occurrence, ici, une fonction de type sin(x)/x, aussi appelée sinus cardinal.

La figure suivante montre la répartition de ces intensités dans l'axe des fentes larges.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Transformée de Fourier discrète (DFT) et transformée de Fourier à temps discrets (DTFT) (Wikipedia):

 

Consider a continuous-time function, x(t)\,, and the Fourier transform:

X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{- i 2\pi f t}\,dt

A common operation is to digitize x(t)\, [aka sampling], which alters the Fourier transform. The altered transform is the DTFT. A mathematical model of the sampling process is to multiply x(t)\, by the Dirac comb function, which is an infinite sequence of impulses occurring at integer multiples of the sampling interval T\, (seconds):

x(t)\cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\, \delta(t - n T)

The Fourier transform of this product is:

X_{dtft}(f)\, = \int_{-\infty}^\infty \left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\, \delta(t - n T)\right] e^{- i 2\pi f t}\,dt
  = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \int_{-\infty}^\infty \left[\delta(t - n T)\cdot e^{- i 2\pi f t}\right]\,dt
  = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \cdot e^{- i 2\pi f n T} \,

With the associations:

x[n] = x(nT)\,
\omega = 2\pi f T\,

this becomes identical to the expression for X(e^{i \omega})\,.
Since f\, represents ordinary frequency (cycles per second) and T\, has units of seconds per sample, the units of fT\, are cycles per sample. It is common notational practice to replace this product with a single variable, called normalized frequency. Since 1/T \, represents the sample rate (samples per second), fT\, represents actual frequencies as multiples (usually fractional) of the sample rate.   \omega\,, as defined above, is also a normalized frequency, but its units are radians per sample.

Echantillonage de la Transformée de Fourier continue


X_{dtft}(f)\, can also be expressed in terms of X(f)\,, by means of the Fourier transform pair:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T) \quad \Longleftrightarrow \quad {1\over T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f - {k\over T} \right)

So the transform of the product is this convolution:

X_{dtft}(f) \quad= X(f)*{1\over T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(f - {k\over T}) \quad = {1\over T}\sum_{k = -\infty}^{\infty} X(f - {k\over T})

which uses the shifting property of the Dirac delta under convolution. This result reveals that the DTFT can be constructed by summing "copies" of X(f)\, superimposed at intervals of 1/T \, (the sample-rate). Therefore the higher the rate, the farther apart are the copies. (Also see aliasing and Nyquist-Shannon_sampling_theorem.)

For practical evaluation of the DTFT numerically, a finite-length sequence is obviously needed. For instance, a long sequence might be modified by a rectangular window function, resulting in:

X(e^{i \omega}) = \sum_{n=0}^{L-1} x[n] \,e^{-i \omega n}\,,   where L\, is the modified sequence length.

This is often a useful approximation of the spectrum of the unmodified sequence. The difference is a loss of clarity (resolution), which improves as L increases.
It is common to evaluate X(ω) at an arbitrary number (N) of uniformly-spaced frequencies across one period (2π):

\omega_k = \frac{2 \pi }{N} k\,,     for k =  0, 1, \dots, N-1 \,

which gives:

X[k] = X(e^{i \omega_k}) = \sum_{n=0}^{L-1} x[n] \,e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n}

When N \ge L\,, this can also be written:

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n},   because we define x[n] = 0\, for n \ge L\,.

With that cosmetic adjustment, the X[k]\, sequence is now recognizable as a discrete Fourier transform (DFT). While N defines the resolution at which we sample the DTFT, L limits the inherent resolution of the DTFT itself. So they are usually similar (or equal) values. And while it is common to choose N > L, the only reason to include the zero-valued terms in the summation is to take advantage of a fast Fourier transform algorithm for computing the DFT. However, when that is done it is often given undue significance, such as zero-padded DFT and/or interpolated DFT. But obviously the exact same DFT can be calculated straightforwardly without the zero-valued terms. One can also compute the DTFT for the case of N < L (or for other frequency samplings) where it is not equivalent to a DFT.

To illustrate why N > L is common, consider the sequence:

x[n] = e^{i 2\pi \frac{1}{8} n}, and L = 64.

The two figures below are plots of the magnitude of two different sized DFTs, as indicated in their labels. In both cases, the dominant component is at the signal frequency: f = \begin{matrix} \frac{1}{8}\end{matrix} = 0.125\,. Also visible on the right is the spectral leakage pattern of the L = 64 rectangular window. The illusion on the left is a result of sampling the DTFT at all of its zero-crossings. Rather than the DTFT of a finite-length sequence, it gives the impression of an infinitely long sinusoidal sequence. Contributing factors to the illusion are the use of a rectangular window, and the choice of a frequency (\begin{matrix} \frac{1}{8}\end{matrix} = \begin{matrix} \frac{8}{64}\end{matrix}) with exactly 8 (an integer) cycles per 64 samples.

DFT for L = 64 and N = 64

DFT for L = 64 and N = 64

DFT for L = 64 and N = 256

DFT for L = 64 and N = 256