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Accueil Remonter Taches_contraste Evaluation du contraste

 

 

Attention, les calculs présents sur cette pages sont des brouillons, la méthode de mesure du contraste fonctionne mais la détermination de valeur du seeing n'est actuellement  pas complètement au point.

 

Cette page présente quelques résultats concernant la variation du contraste des franges d'interférence en fonction de l'évolution de la turbulence. Il s'agit d'analyser comment les fluctuations du front d'onde empêchent de saisir les franges de contraste

maximum

La visibilité des franges : sélection des meilleures images

Partie Théorique (comment établir la relation entre le contraste et le paramètre de Fried) :

  Contraste absolu hors turbulence (cas idéal)

  Contraste absolu avec turbulence atmosphérique

  Limitation due à l'échantillonnage

  Estimation pratique du paramètre de Fried par mesure du contraste des franges

Méthode de détermination du contrastes des franges

           - Première étape du traitement : l'extraction des franges

           - Détermination de l'échantillonnage de la frange

           - Simulation des FFT avec la dispersion spectrale du filtre

           - Influence de la fenêtre d'analyse spectrale (choix de la fonction d'analyse)

           - Dernière étape : une analyse de la turbulence.

Un seeing-mètre à moindre coût :

Résultats expérimentaux

Conclusion et perspectives

Bibliographie

Il est d'ailleurs intéressant de noter que cette approche permet de définir une méthode simple de mesure du "Seeing", c'est à dire de la qualité de la turbulence lors d'une observation (nous verrons par quelle méthode plus loin).

 

Rappel sur l'expérience de Fizeau (trous d'Young)

L'expérience des trous d'Young se résume très simplement par un masque percé de Deux ouvertures, dont on choisi judicieusement l'écartement et la forme, que l'on place en avant du télescope. Pour plus de détails sur les dimensions des trous et leurs écartements, le lecteur peut se reporter aux pages relatives à la théorie. Le schéma optique est détaillé plus bas, mais ne comporte en soi aucune difficulté. En effet, pour mener à bien l'expérience, nous avons simplement utilisé des masques en carton (ou le MTR1 à l'occasion, ce quj revient au même), et du coté de la prise, une Webcam utilisée en tirage oculaire pour voir apparaître les franges dans la figure de diffraction de notre étoile cible.

 

Trous d'Young symétriques sur Masque en carton (écartement 146mm, carrés de 30mm) Trous d'Young sur symétriques Masque en carton (écartement 119mm, carrés de 39mm)

 

Comme quoi, la mise en oeuvre de l'expérience ne met en jeu aucune difficulté !!

 

La visibilité des franges : sélection des meilleures images

Pour commencer, regardons un peu ce que l'on "voit" au travers d'un télescope équipé du MTR1 (séparation des ouvertures de 146mm, fixée arbitrairement), au cours du temps (Cela marche aussi avec un simple carton percé de 2 ouvertures comme vu précédement) :

Conditions de prise de vues : LX200 8 inches à F/D10, oculaire de 15mm, 38mm de tirage, sans filtrage (nous verrons plus loin pourquoi). Caméra Vesta Pro II, séquencée à 5ips, temps de pose 1/15ème de secondes, film de 158 images en couleur,

Environ 30 secondes, prises en banlieue bordelaise.

Pour extraire la visibilité optimale des franges, nous avons séparé les images obtenues en rouge, en vert et en bleu (l'analyse statistique des franges sur les 3 couleurs sera vue plus loin).

Dans un premier temps, en utilisant la méthode de mesure de contraste des franges par transformée de Fourier comme nous l'avions fait ici. Ce premier travail sur des séquences d'images de 30 secondes à été réalisé à la main, mais avec le concours

de Christian BUIL, il a été possible sous Iris de travailler à l'extraction des FFT d'une séquence d'images complète, ce qui permet d'accélérer franchement le travail (merci Christian ;-)).

Nous avons vu dans la partie théorique, que plus les franges sont visibles, plus la valeur du module de la partie réelle du pic à la fréquence de la frange, dans la transformée de Fourier de l'image, est présent (en terme d'intensité).

Le transformée de Fourier de l'image est obtenue par une algorithme appelé FFT (Fast Fourier Transform) implanté dans le logiciel IRIS. Ce logiciel permet de générer des transformées de Fourier sur des images dont la dimension n'est pas

une puissance de 2 (voir la bibliographie pour plus de détail), mais au prix de la génération d'artéfacts, se traduisant par des lignes verticales et horizontales brillantes, et passant par le centre de l'image (l'origine des fréquences).

L'algorithme d'IRIS permet de calculer directement le module et l'argument de la transformée de Fourier de l'image. La mesure de la valeur du contraste doit être obtenue à l'aide du module de cette FFT (voir publication [3]). 

Les arguments des images sont quasi constant pour toutes les images traitées. Dans l'exposé qui suis, seule sera représentée le module de la FFT.

 Le pic central de la FFT (le 0 en fréquence), représente le niveau de bruit à fréquence nulle, autrement dit le niveau moyen de l'image dans l'espace des x,y. On peut considérer ce fond de l'image comme quasi constant sur la durée de prise de vue.

C'est pourquoi dans les visualisations suivantes, vu la taille de l'image brute, j'ai superposé les franges sur leur FFT correspondantes en masquant le pic central (cela permet de noter l'évolution des pics de franges en même temps que leur évolution

 sur l'image de départ), sans prêter attention au pic central, utile uniquement pour le calcul du contraste absolu.

 

Image brute couleur rouge (espace des x,y)

FFT image (espace des fréquences images, partie réelle de la fft)

 

Image combinée en x,y et en fréquences

 Nous allons prendre a titre d'exemple, sur la séquence totale, 3 images représentant les franges à différents seuils de visibilité de la moins bonne vers la meilleure.

Pour apprécier l'intensité du pic correspondant à la fréquence des franges, nous avons simplement utilisé les fenêtres d'analyse statistique d'IRIS, en utilisant 2 méthodes : une mesure du pixel d'intensité maximum dans une fenêtre d'analyse

centrée sur le pic, et une mesure intégrée (somme de tout les pixels supérieurs à 0), à l'intérieur de cette même fenêtre. L'avantage de cette seconde méthode est de ne pas être soumise aux fluctuations d'intensité des pixels de la FFT si ces derniers,

d'une image a l'autre, se trouvent légèrement décalés en x ou y entre chaque FFT.

Extrait brut + FFT image

Statistique

Image n°61

Maximum                           :  1665

Volume maximum               :  1730821

Volume maximum normalisé :  1730

Image n°120

Maximum                           :  2068

Volume maximum               :  2292394

Volume maximum normalisé :  2292

 

Image n°49

Maximum                           :  2823

Volume maximum               :  3221753

Volume maximum normalisé :  3221

 

 

La fenêtre statistique d'analyse a pour dimension 57x35 pixels (fixé arbitrairement) sur l'image de la FFT, autour du pic de fréquence f0 des franges. Cette fenêtre est prise de dimension identique pour chaque images.

Le volume max normalise n'est autre que le volume max divisé par 1000 (pour les visualisation sous Exel qui vont suivre).

Partant de cette visualisation, il est assez amusant de faire une petite animation simultanée des FFT et de l'image brute pour se convaincre des fluctuations des franges en fonction de la turbulence.

Une animation sur les 50 premières images est présentée ici :

Cette méthode d'analyse simple permet donc de sélectionner les images de franges contenant le meilleur contraste. Le relevé des valeurs de l'intensité au pic maximum de la frange permet d'éditer la courbe

d'évolution du contraste des franges dans le temps :

 

Les niveaux d'intensité de la partie réelle de la FFT sont donc statistiquement répartis selon l'histogramme précédent pour cette séquence de 30 secondes. Cette méthode de suivi de la turbulence à été employée par L. Koechlin sur l'I2T

d'A. Labeyrie dans les années 1970. On peut citer à ce titre à la publication de D. Bonneau [9] :

« Avec des télescope dont le diamètre est voisin du rayon de Fried r0, la visibilité des franges est fortement dépendante de la qualité de la turbulence atmosphérique (agitation atmosphérique).

Pour calculer la visibilité des franges dans une séquence d’images, Koechlin propose une méthode statistique de comparaison. …La méthode consiste à mesurer dans le spectre de puissance de chaque image, la contribution du pic de fréquence f0

des franges. On calcule alors l’histogramme de la fréquence d’apparition des différentes valeurs de  durant la séquence d’images analysée. La valeur maximale des franges analysée  dépend de  (contraste hors atmosphère), et la forme de

l’histogramme dépend de la qualité de la turbulence. »

Cette méthode s'intéressant a la densité spectrale du carré de l'intensité (spectre de puissance), qui donne un excellent indicateur de l'état de turbulence pendant la phase d'acquisition, n'a malheureusement pas été publiée (info confirmée par M. Faucherre en février 2006). Malgré cela, nous avons imaginé utiliser cette méthode, dans un premier temps pour comparer les conditions de turbulence sur 3 sites différents (en utilisant la méthode statistique), et dans un deuxième en essayant de faire un rapprochement entre la méthode de mesure du contraste de frange (non pas dans le spectre de puissance mais dans le spectre d'intensité) et la mesure du paramètre de Fried r0.

 

Un minimum de théorie pour comprendre ce que nous faisons :

 

Il est possible d'appréhender la méthodologie sans forcément détailler les parties mathématiques et les simulations associées. Si tel est le souhait du lecteur, rendez vous ici. Sans quoi les quelques paragraphes suivants détaillent l'idée de signature

interférométrique du système d'acquisition, et les détails mathématiques conduisant à l'évaluation du paramètre de Fried.

Désolé pour ceux qui sont réfractaire aux math, mais pour comprendre les phénomènes mis en jeu, nous devons reprendre deux ou trois concepts de base sur l'expérience des trous d'Young. Dans un premier temps, reprenons en détail la notion de

Visibilité des franges dans notre expérience.

 

 Attention Calculs

    Mesure du contraste absolu hors turbulence (cas idéal)

        Le contraste absolu peut être mesuré de deux manières :

            - Soit directement en relevant sur l'image les valeurs de maximum et de minimum d'intensité de la frange, sous condition d'un échantillonnage suffisant ((a) figure plus bas),

            - Soit indirectement en utilisant la formule suivante sur la transformée de Fourier de l'image ((b) figure ci dessous). L'avantage de cette dernière méthode est d'extraire la composante en cosinus de la frange, qui est dans l'autre méthode,

modulée par la diffraction due à la forme du trou utilisé comme écran (voir partie théorique plus bas). Ici la modulation est faite par un sinus cardinal puisque nous utilisons des trous carrés.                                                   

 

                                                   

                                                            (a)                                                                                                     (b)                                                                         

Le contraste absolu, généralement noté  g s'écrit de la manière suivante :

(2)

Les valeurs que nous obtenons sur les images vue plus haut (61, 120 et 49) sont dépendante de la méthode de lecture employée !

Non content de cela, la mesure du contraste, si elle est relativement aisée en visuel (méthode couramment employée jusque dans les années 1990  [3]), la détermination quantitative en imagerie CCD par les 2 méthodes précédentes souffrent de

plusieurs difficultés. C'est pourquoi pendant longtemps, il à été préféré des méthodes de mesure de contraste relatifs, obtenues par comparaison avec des interférogrammes de références obtenus sur des sources étalonnées ou par comparaison

relativement entre eux.

Le premier effet de baisse de la valeur maximale mesurée est dus à l'échantillonnage (et à l'élargissement du pic à la fréquence f0), et le deuxième effet est dus à la largeur de bande spectrale du système d'acquisition.

Nous avons vu que la transformée de Fourier de notre interférogramme, dans un cas non monochromatique hors turbulence s'écrit :

    (3)

avec L la taille de la fenêtre d'analyse spectrale, N la taille de la FFT, et les mu(k) les coefficients de transmission spectrale du système interférométrique.

Le terme entre crochets de l'expression suivante est représentatif, de part et d'autre de la fréquence nulle, de la distribution des coefficients de transmission spectrale pour chaque pixels de la FFT

 

 

 

En prenant l'hypothèse (déjà utilisée dans la méthode d'extraction de la valeur du contraste), selon laquelle la turbulence provoque un déphasage identique sur toute la plage de longueur d'onde, et que la variation de contraste de chaque valeur de k est homogène la variation équivalente dans un cas parfaitement monochromatique, nous pouvons considérer que la transformée de Fourier hors turbulence s'écrit comme suit :

(4)

 

Le contraste réel hors turbulence est donc de la forme suivante : les pics de part et d'autre de la fréquence centrale ont une forme correspondante à la fonction de filtrage du système d'acquisition, convoluée avec la FFT du sinus cardinal au carré de la figure de

diffraction (ou de la fenêtre de démodulation spectrale utilisée dans la méthode d'évaluation du contraste) d'une des deux ouvertures du masque interférométrique.

A condition de reproduire les conditions de prise de vue de manière identique pour chaque acquisition vidéo (écartement des trous, échantillonnage, étoile source, caméra), on obtient des valeurs de pics identiques pour les meilleures images de franges.

 

 

 

 

 

Nous venons de voir que la mesure du contraste absolu est en soi délicate car nous ne sommes pas dans le cas idéal d'un système rigoureusement monochromatique, et donc que la valeur du maximum du pic de la FFT à la fréquence f0 est insuffisante

pour obtenir le véritable contraste des franges.

 

 

       Mesure du contraste absolu avec turbulence atmosphérique :

 

Reprenons l'expression vue dans la partie théorique, relative à l'intensité lumineuse en onde monochromatique, détectée dans le plan focal au point P, dans le cas de l'expérience des trous d'Young. En appelant I1 l'intensité diffractée par l'ouverture 1 et I2 l'intensité diffractée par l'ouverture 2, on peut écrire :

 

. Re() représente la partie réelle de la fonction de cohérence complexe. La valeur représente le degré de cohérence mutuelle des vibrations émises par les trous T1 et T2. Cette valeur est complexe, et est de la forme : (notation de la référence [1])

Cette fonction de cohérence mutuelle s'applique à la fois dans le domaine spatial, temporel et spectral. Nous nous intéressons dans un premier temps  au degrés de cohérence spatial.

I(P) deviens alors . Dans notre application, nous considérons les deux trous identiques, soit I1 = I2. L'intensité diffractée par les deux ouvertures devient alors :

 

(5)

On peut dégager 3 termes qui identifient et expliquent les franges d'interférences. I représente l'intensité équivalente en un point P, générée par une des deux ouvertures seule. Cela correspond en fait à l'intensité au point P donné, dans la figure de diffraction obtenue après diffraction dans l'un des 2 trous.

par le théorème de Van-Cittert/Zernique est représentatif de la distribution spatiale des fréquences de l'objet. C'est d'ailleurs cette expression que nous chercherons à extraire dans la résolutions de sources accessibles par nos systèmes interférométrique. Ce terme est égal à 1 pour une étoile simple non résolue.

est le terme d'interférence, qui est modulé par le degrés de cohérence complexe . Ce terme en cosinus n'apparaît que si les conditions de cohérence complexes sur et sont remplies (nous verrons cela plus loin).

               

Les perturbations atmosphériques peuvent être appréhendées au travers du modèle précédent, en considérant une source ponctuelle comme générateur de franges. L'expression 5 s'écrit alors, avec =1 :

 

est représentatif du déphasage induit par le montage (déphasage dus à la différence de marche entre le rayon incident issu de l'ouverture T1 et un rayon incident issu de T2, les 2 rayons incidents se rencontrant au point P du plan focal). Le terme, qui est en fait une variation locale d'indice de l'air, varie en fonction des perturbations atmosphériques en introduisant un retard sur le trajet source-trou1 (ou source trou2).

se comporte comme une variable aléatoire du temps. La valeur de fluctue de manière aléatoire durant le temps d'intégration de nos images. Notons cette variable aléatoire.

Si nous supposons que la phase aléatoire ne varie pas pendant le temps d'intégration de l'image () alors   , . I(P) deviens . Si nous prenons le point P sur l'axe du système, =0. I(P) est égal à

(voir schéma suivant). En faisant varier continûment en déplaçant la position du point P dans le plan focal, varie de -1 à +1. D'ou . Nous obtenons donc les répartition des intensités suivantes :

 

La courbe bleue est la répartition des intensités à l'instant t appartenant à l'intervalle d'intégration. La courbe rouge montre la position moyenne de la courbe de répartition des intensités lorsque la valeur moyenne de la phase est égale à A. Durant le temps d'intégration de notre image, la phase varie dans l'intervalle . Cette variation de pulsation se traduit par un décalage des franges d'interférences par rapport à l'origine, mais en aucun cas par l'atténuation de l'amplitude des franges.

Une variable aléatoire est caractérisée par ses "moments". On appelle moment d'ordre 0 la moyenne arithmétique de la variable, moment d'ordre 1 sont écart type, etc.... Ainsi durant l'intervalle d'intégration, la phase fera déplacer les franges à gauche et à droite de selon les caractéristiques de la variable aléatoire .

La valeur de l'intensité au point P s'écrira en fonction de l'intensité instantanée I(P) : , soit après simplification : +. La variable aléatoire est caractérisée par sa fonction de répartition et sa densité de probabilité. Les variables aléatoires peuvent voir leurs densité de probabilité évoluer selon des lois connues (équirépartition, lois normales, lognormales, Khi2, etc....)).

Nous allons considérer dans un premier temps, que la loi de distribution de probabilité de la phase dans l'intervalle d'intégration, est une loi équiprobable (distribution uniforme), que l'on peut résumer à l'aide du graphe suivant :

 

Dans le cadre de cette loi, on peut noter que la moyenne s'écrit  et l'écart type . Nous allons faire maintenant la supposition que la moyenne statistique de ces fluctuations de phase, est égale, dans l'intervalle à la moyenne temporelle de ces fluctuations (c'est ce que nous appelons mathématiquement, la condition d'Ergodicité). Si de plus, varie entre 0 et T, continûment de à  , nous pouvons définir une vitesse moyenne de variation de la phase : . En intégrant cette vitesse, on peut donc écrire l'expression de :

d'ou le calcul de l'intégrale contenue dans l'expression de I(P) : ce qui donne après simplifications par les formules de l'angle moitié, et en écrivant :

, soit avec la moyenne de la fluctuation de phase dans l'intervalle d'intégration , on obtient finalement l'expression de l'intensité :

(6)

Le terme dépendant de module donc le terme en cosinus (donc la frange d'interférence. Ce résultat (cité dans la référence [10]), montre qu'un terme représentatif des variations de phase (et il s'agit bien de l'amplitude de ces variations, pas de leurs moyenne) se substitue au  . On peut parler, sur le temps d'intégration  de l'image, de contraste apparent dus à la turbulence !!

Attention, on rappelle que le résultat énoncé est dépendant des conditions suivantes :

 

Source ponctuelle

Trous d'Young identiques

Fluctuation de phase équiprobable durant le temps d'intégration de l'image (temps court).

 

Ce résultat peut être généralisé en considérant le raisonnement suivant : Réécrivons l'expression de l'intensité au point P durant le temps d'intégration

 

 

Cette intensité est composée d'un terme statique et d'un terme représentatif des frange . Lors de la démonstration précédente, nous avons considéré que la courbe de probabilité de valeurs de la phase est uniformément balayée dans l'intervalle de temps d'intégrations de l'image. Si nous considérons que cette probabilité continue dans l'intervalle de temps d'intégration T, alors l'intensité totale obtenue du terme représentatif des franges pendant ce temps d'intégration peut s'écrire :

Nous avons vu dans la partie théorique que  le terme en cosinus de l'expression [5] est la partie réelle de l'amplitude complexe du terme de franges : . Si nous réécrivons l'intégrale précédente en notation complexe,  nous obtenons alors :

 

car le terme est indépendant de .

En écrivant la variable aléatoire de variation de phase comme une variable centrée, c'est a dire , l'expression précédente devient :

Or on peut remarquer que l'expression générale de la transformée de Fourier d'un signal f(x) s'écrit et la transformée inverse prend la forme . L'intégrale de l'expression précédente s'écrit alors par le changement de variable et (Attention, v ne doit pas être confondu ici avec la fréquence, intervenant dans l'expression des transformée de Fourier spatiales. Il s'agit ici d'une variable de calcul). Ce changement de variable permet d'exprimer simplement la transformée de Fourier de en fonction de v. Il apparaît que la résolution de la forme analytique de Ip équivaut à la transformée de Fourier pour v=1/2pi.

Du point de vue mathématique, tout se passe comme si le terme en prenait la forme : avec .

 

Ce résultat nous permet de retrouver simplement la conclusion de la démonstration précédente, en considérant une fonction porte comme distribution de la probabilité :

 

La transformée de Fourier d'une fonction porte est un sinus cardinal, on retrouve l'expression de l'intensité :

 

Mais l'intérêt de cette approche est de pouvoir généraliser à toutes les distributions de densité de probabilité que l'on peut imaginer, et en particulier celui d'une fonction gaussienne , qui est quasiment invariante par transformée de Fourier.

 

L'intensité totale intégrée (en supposant la scintillation négligeable devant la fluctuation de phase, ce qui se justifie dans le cas d'une source ponctuelle [6] ) devient :

Soit après la démonstration précédente :

[7]

Pour citer Roddier & Roddier [11], mais plus particulièrement Fried (ref[6]) : "En se basant sur le raisonnement concernant la manière dont l'atmosphère produit les fluctuations de phase et d'amplitude, et en invoquant le théorème de la limite centrale, il peut être montré que et l (la distribution d'amplitude), ont des distributions gaussienne (V.I. Tatarski, Wave propagation in a turbulent medium, McGraw-Hill Book Co, New York, 1961).".

Dans le cas d'une fonction de distribution de densité de probabilité gaussienne, c'est a dire dont le répartition s'écrit sous la forme : 

La fonction Ip contenant un cosinus, est périodique de période 2Pi. Notre hypothèse de départ est que la fluctuation de phase est comprise entre -Pi et Pi autour de .  En regardant de près la fonction gaussienne, dans l'intervalle cité précèdent, on peut voir que la valeur du maximum décroît avec l'augmentation de l'écart type (on présente ici les variations de -p/2 à +p/2 avec =0):

Les caractéristiques de la courbe Normale sont les suivantes :

La variable varie de -p à +p, ce qui est aussi vrai pour la variable centrée

La fonction est toujours >0

L'aire sous la courbe vaut 1 si varie de à

Elle est symétrique autour de

Elle atteint son maximum pour (moyenne arithmétique)

Sa transformée de Fourier est une fonction Gaussienne :

        en notant la transformée de Fourier s'écrit : avec dans le cadre de notre démonstrationon obtient

 

L'expression de l'intensité au point P s'écrit alors :

Ce résultat nous permet de vérifier que le terme de franges en est modulé par un terme ne dépendant que de la dispersion de la phase autour de sa valeur moyenne !! C'est l'écart type de la fluctuation de phase qui conditionne la visibilité des franges.

 

Notons C" cette valeur de contraste obtenue avec turbulence.

 

Si nous reprenons la transformée de Fourier de cette expression, en la notant :

On démontre, en utilisant l'expression des variations d'indice de l'air (source consultable : wikipédia), que la valeur de la dispersion est très peu sensible à la valeur  de la longueur d'onde. Ce qui nous permet de considérer que C" est invariant par rapport à f. On peut donc écrire :

soit au final :

[8]

Les fluctuations de phases dues à la turbulence se font donc au travers du terme C" ayant pour expression :

[9]

 

Or nous pouvons déduire de la relation [9] :

Cette valeur de Sigma correspond à la fluctuation de phase sur le profil de frange. Nous verrons plus bas que nous pouvons établir une relation simple liant cette fluctuation de phase  au déplacement respectif des images des 2 trous, et rejoindre ainsi une méthode d'estimation de type DIMM.

 

L'expression [8] est une modulation des franges par la turbulence dans monochromatique. Nous obtenons le résultat dans un cas non monochromatique en combinant l'expression [3] et l'expression [9] avec pour hypothèse (déjà prise précédemment) que la dispersion de la phase est quasi indépendante de la longueur d'onde :

 avec L la taille de la fenêtre d'analyse spectrale, N la taille de la FFT, et les mu(k) les coefficients de transmission spectrale du système interférométrique.

Cette expression nous montre que l'on peut extraire C" indépendamment de la fréquence f0 considérée.

 

(Image de la modulation des pics de franges par la turbulence)

 

L'augmentation de la variance de phase due à la turbulence produira une diminution de la valeur du contraste des franges.

Attention toutefois, Ce raisonnement n'est valable que dans le cas ou la phase ne varie qu'entre -Pi et Pi. Si la fluctuation de phase déborde au delà de cet intervalle de -Pi, Pi, la distribution de phase ne peut plus être calculée de cette manière. Toutes les images de la séquence vidéo ne sont donc pas représentatives de la valeur du seeing. Seules celles pour lesquelles la variance de phase induit un déplacement angulaire équivalent sur le fond du ciel à +/-2 sigma produit un contraste de frange interprétable en terme de paramètre de fried.

 

 

Estimation du paramètre de Fried par mesure du contraste des franges

 

 

Comment agit la turbulence atmosphérique sur un front d'onde issu d'une étoile ? L'étoile situé à l'infini produit un front d'onde qui a l'arrivée sur la haute atmosphère, se retrouve perturbé. La perturbation due aux variations d'indice de réfraction de l'atmosphère produit un déphasage local du front d'onde plan initial :

Le front 
d'onde
hors de
l'atmosphère 
est
régulier
L'atmosphère
turbulente
déforme le
front d'onde
       
Les images 
sont agitées 
du fait de la
turbulence de
l'atmosphère

 Crédit : F. Lacombe/observatoire de Paris

 

Nombre d'auteurs ont décrits de manière approfondie la turbulence atmosphérique. Citons entre autre l'excellente page sur le sujet, de Cyril Cavadore "Seeing and Turbulence", basée sur les publications de D.L. Fried.

L'effet de la turbulence peut se décomposer en plusieurs mode de déformation de la surface d'onde, que l'ont peut appréhender selon 2 mode distinct : la fluctuation de phase spatiale (Kolmogoroff) et la fluctuation de phase temporelle.

Nous ne décrirons pas ici le détail des démonstrations ayant amené à la description mathématique des fluctuation de phase. Pour plus de détails, il est possible de retrouver ces modèles dans la bibliographie en bas de cette page.

Nous allons ici nous intéresser ici à la fluctuation de phase spatiale, en étudiant un front d'onde incident à 2 endroits de la pupille d'un télescope.

Un télescope d'un diamètre D est théoriquement capable d'atteindre une résolution angulaire théorique donnée par la formule suivante : avec l la longueur d'onde de l'onde incidente, généralement considérée à 0,55mm.

Le LX 200 8 inches utilisé dans cette expérience est donc théoriquement capable de séparer de détails d'une dimension angulaire de 0,56" d'arc. Malheureusement, la turbulence atmosphérique jouant le rôle optique d'un système de transmission

déformant de manière aléatoire le front d'onde issu de l'étoile, ce critère (critère de Raleigh) n'est jamais atteint. Lorsque nous utilisons nos chères caméra CCD, les temps d'exposition généralement long (au regard des fluctuations de la turbulence),

ne nous permettent que d'additionner des images décalées dans l'espace des x,y en fonction des variations aléatoires de la turbulence. Les FWHM généralement obtenues, résultantes de l'addition des déplacements relatifs de l'étoile, ne permettent

d'obtenir des images dont la résolution descend rarement au dessous de 2 à 3 secondes d'arc.

D.L. Fried donne en 1977 un moyen de réduire cet effet de la turbulence, en procédant selon une méthode qu'il qualifie de "Lucky exposure", autrement dit, l'exposition chanceuse. Cette méthode, mise en application depuis les années 2000 par

tout les possesseurs de Webcam, consiste à réduire le temps d'exposition, et à sélectionner uniquement les images les moins perturbées d'une séquence vidéo, pour ensuite les additionner. Ce fût un progrès extraordinaire dans notamment

la photographie planétaire. Mais tout utilisateur de webcam sais aussi qu'il y a des soirs, ou la recherche de la bonne image est impossible. Si l'atmosphère n'est pas de la partie, on ne peut obtenir le résultat attendu. Comment alors estimer

la turbulence et quel indicateur utiliser pour cela.

Fried à défini en 1965 un paramètre atmosphérique pouvant s'apparenter à une zone circulaire du front d'onde déformé par la turbulence, pour laquelle cette déformation induit un défaut de phase inférieur à 1 rad ( l/6,28) à l'entrée du télescope.

Ce paramètre, appelé paramètre de Fried  est le diamètre de la zone de turbulence (r0 )pour laquelle le critère de défaut de phase rms est inférieur à 1 rad sur l'onde. Cet indicateur de turbulence est le paramètre que nous allons tenter de déterminer.

Pour se faire, on pourra se reporter aux publications de Fried [4] et [7] relatives à la propagation d'un front d'onde en milieu turbulent, et plus particulièrement la notion de fonction de structure de Phase appelée D(r).

"La propagation des ondes optiques a travers un milieu aléatoirement inhomogène produit une déformation du front d'onde. La déformation spatiale (à distinguer de la variation temporelle) est généralement décrite par une quantité appelée fonction

de structure de phase. Si, aux points x et x', la variation de phase associée a cette déformation est notée respectivement et , alors la fonction de structure de phase est définie comme :

avec . Le signe < > est la notation de la moyenne de l'ensemble" [7]

Cette forme n'est autre que la variance spatiale de la phase. Dans la référence [6], Fried définit défini D(r) comme une fonction de D, la distance entre les deux points considérés du front d'onde (que nous avions noté r précédemment), et d'un paramètre r0

rayon de la surface de cohérence dont nous avons déjà parlé plus haut. On démontre (mais nous ne le développeront pas ici), que cette variance de la phase est liée au paramètre de Fried. On peut citer l'excellent lien sur l'interférométrie à 2 télescope expliquant l'effet de la turbulence atmosphérique sur l'obtention des franges.

La dispersion (l'écart type) de la phase telle que nous l'avons définie par la relation [9] n'est autre que la fluctuation aléatoire de cette phase autour de sa valeur moyenne . Les caractéristiques du montage optique nous amènent à considérer que la différence de marche induite par le déphasage phi(theta) peut être traduit en terme de déplacement relatif de l'image générée par la trou 1 par rapport à l'image générée par le trou 2. C'est justement cette méthode qui est mise en oeuvre dans un système de type DIMM.

D'après Sarazin et Roddier [12], puis VERNIN et MUÑOZ-TUÑON [8] dans la mise en application d'un système de type DIMM, dont la synthèse est disponible sur la page de Cyril Cavadore : "DIMM Theoritical approach", il est possible de définir le seeing en mesurant la variance du déplacement relatif des images générées par un masque a 2 trous sur l'axe parallèle à ces de ces trous (fhwmpara) et sur l'axe perpendiculaire à ces trous (fwhmperp).

Les relations permettant de retrouver ces valeurs de seeing sont :

[10a] et [10b]

avec

Airmass    : La masse d'air traversée par le front d'onde (en rapport à la masse d'air traversée à la verticale)
Is         : Le bruit instrumental exprimé en rad²
sigma_para   : La déviation standard en pixel le long de l'axe parallèle aux ouvertures, exprimé en pixel

sigma_perp   : La déviation standard en pixel le long de l'axe parallèle aux ouvertures, exprimé en pixel

et les paramètres Kperp et Kpara calculés à l'aide des relations :

et

ou tp est la distance entre les pupilles d'entrée, et dp les dimensions de ces pupilles.

Le seeing complet est alors considéré comme la moyenne du seeing des 2 axes.  Comment allons nous pouvoir utiliser ces relations dans le cadre de notre application interférométrique.

Et bien dans un premier temps, nous devons convertir la dispersion mesurée sur le front d'onde, à l'aide de la valeur du contraste interférométrique, en une valeur de déplacement équivalent relatif dans le plan focal. En reprenant le schéma optique du montage vu dans la page sur la mesure du seeing simplifiée, nous pouvons constater que l'angle sous tendu par une frange est égal à :  [10c].  L'échantillonnage angulaire par pixel est de exprimé en radian/pixel. Le nombre de pixels par franges est donc de pour un déplacement équivalent de 2Pi de l'angle de phase.

Par une simple règle de proportionnalité, il est donc possible de retrouver le déplacement équivalent n en pixel, compris entre 0 et 2Pi durant l'intervalle de temps correspondant à la pose, ce qui nous donne en terme d'écart type : [11](en pixels).

Nous sommes maintenant confrontés à un problème dans l'utilisation des équations du DIMM puisque par définition, nous n'avons accès par la méthode interférométrique, qu'a la valeur de et non a celle de . Nous sommes donc obligés de considérer que ces 2 valeurs sont égales (approximation que nous pouvons raisonnablement considérer comme valide voir publications [8] et [12]), pour pouvoir appliquer [10a] et [10b] et obtenir une valeur du seeing conforme au traitement de type DIMM :

 

En appliquant la relation [9], nous obtenons la valeur de qui correspond l'écart type de la valeur de phase autour de sa moyenne. en utilisant les tables de la loi normale, nous pouvons adopter l'intervalle de confiance correspondant à ce que 95% des valeurs de la moyenne de la phase se situe dans l'intervalle définis par . Dans de telles conditions, nous pouvons considérer que 95% des mesures de fluctuations moyenne de phase se situent dans l'intervalle de variation correspondant à , avec une incertitude à +/-2. En réinjectant ce résultat dans la relation [11], nous obtenons la valeurs de  utilisable pour estimer le seeing

 

La limite de validité de la méthode correspond, à la valeur angulaire équivalant à un intervalle de 2Pi autour de la valeur moyenne de la phase.  Si nous obtenons une phase supérieure à 2Pi, la relation [5] nous montre que la dispersion de phase se fait modulo [2Pi], et nous serons en dehors des conditions de validité de la relation [9] (la dispersion serais faussée dans l'intervalle [0..2Pi]). Nous allons donc procéder en rejetant toutes les valeurs calculées à l'aide de la relation [9], et dont le résultat serais supérieur à la valeur de .

La mise en pratique de cette méthode est décrite plus bas.

 

Reste donc maintenant a obtenir une méthode de mesure du contraste suffisamment fine.

 

 

 

Méthode de détermination du contrastes des franges

 

        - Première étape du traitement : l'extraction des franges

 

Le premier point perturbant est que les franges sont modulées par la figure de diffraction des ouvertures du masque. Nous devons donc restituer le profil réel des franges en "déconvoluant" la FFT par le sinus cardinal correspondant à l'image de diffraction

obtenue avec une source unique. Opération simple si l'on conserve à l'esprit les propriétés de la transformée de Fourier. Il suffit de diviser l'image étudiée une fois recentrée, par l'image obtenue en absence totale de frange. Nous avons détaillé cette opération

(simulation et étude d'un cas réel dans la page sur l'extraction d'une méthode d'étude du contraste). Mathématiquement, dans l'espace des (x,y), les franges sont obtenues par la relation :

 

Il suffit donc de diviser l'image étudiée par I pour restituer les franges. L'image brute et son diviseur sont recentrés en appliquant 2 FFT consécutives (ce qui supprime la partie imaginaire de la FFT). Pour une question de lisibilité, les images présentées ci-dessous sont agrandies.

 

Image brute recentrée Image diviseur recentrée Franges extraites
 

Animation des 50 premières images de franges déconvoluées

 

 

De cette image ainsi traitée, nous pouvons appréhender le profil exact des franges d'interférence et en extraire la valeur du contraste. c'est l'information interférométrique qui nous intéresse.

 

3 facteurs influencent la valeur du contraste : l'échantillonnage des franges, la dispersion spectrale et la dimension de la fenêtre d'analyse spectrale

 

        - Calcul du cercle de présence du pic de fréquence f0, détermination de l'échantillonnage de la frange (exemple de la couche rouge)

 

En partant de la valeur des paramètres de prise de vue, nous pouvons avoir une première approximation de la valeur de l'échantillonnage des franges. L'échantillonnage est, comme nous l'avons dit plus haut, en l'opération consistant à coder en

séquence un signal continu dans l'espace à l'aide d'une suite finie de valeur  numérique. Le signal continu est une image définie en deux dimensions, et dont les caractéristiques (dimension, position sur le ciel) sont définies par des angles. 

Une frange d'interférence présente pour le système d'acquisition, un angle équivalent sur le ciel, qui est donné pour une fréquence unique par la relation :

a=l/B avec B l'écartement des trous.

Si nous faisons une petite application numérique de la taille des franges pour une largeur de bande d'environ 100nm, centrée sur 0,65 microns (donc dans le rouge), nous obtenons les valeurs extrémales suivantes :

a=lmin/B = 0,6.10-6 x 206265 (’’/rd)/ 0,146 = 0,85sec.d’arc(’’)

a=lmax/B = 0,7.10-6 x 206265 (’’/rd)/ 0,146 = 0,99 sec.d’arc(’’)

La taille de l'image d'un objet de dimension angulaire a au foyer d'un instrument de focale F est donnée par la relation tg(a)=FA/F soit FA=F.tg(a). Le système de prise de vue est un LX 8 pouces à F/D=10 soit 2000mm de focale.

La taille de l'image finale obtenue est directement dépendante de la distance entre l'écran et l'oculaire, avec f la focale de l'oculaire.

La formule du grandissement oculaire est : G=B'A'/FA=(d/f-1) avec d le tirage, et f la focale de l'oculaire. Nous pouvons donc qu'une frange aura pour dimension . Donc, B'A'=G.FA, soit soit avec l la dimension du pixel

En considérant que l'angle et sa tangente son suffisamment petits pour être confondus, nous pouvons en déduire la relation permettant de trouver l'abscisse k de la frange en partant des paramètres d'acquisition :

[12] avec N la taille de l'image de la FFT, B l'écartement des trous, F la focale de l'objectif, f celle de l'oculaire, d le tirage et l la taille du pixel.

Si nous effectuons une application numérique pour lmin, nous obtenons A'B'=18.9 microns, soit avec des pixels de 5.6 microns (cas de la Toucam pro II), une frange est constituée de 3,375 pixels. De la même manière pour lmax,

A'B'=21.76 microns soit 3.88 pixels.

Nous sommes donc dans les conditions d'échantillonnages que nous avons décrites plus haut, à savoir que nous sommes au de la de proche de la limite d'échantillonnage définie par le théorème du même nom (ou encore théorème de Shannon).

Comment cela se traduit-t-il en terme de transformée de Fourier ? La transformée de Fourier normalisée discrète s'écrit : avec N le nombre de pixels correspondant à la taille de l'image de la

transformée de Fourier.

Cela se représente schématiquement de la manière suivante  :

 

Pour un signal spatial s'étendant de 0 à Xm, numérisé en N échantillons, k le pas en fréquence dans la FFT, est égal à 1/Xm. La FFT obtenue numériquement est aussi étalée sur N échantillons, pour lequel la fréquence nulle est située à N/2.

C'est pourquoi (et c'est justement l'opération effectuée sur les FFT sous le logiciel Iris), on recentre la FFT de manière à obtenir la fréquence nulle au centre du graphique.

L'expression k/N est donc homogène à la fréquence f, que nous avons vu dans la partie théorique. Nous avons vu qu'une sinusoïde pure produit un Dirac dont la position dépend de la fréquence de la sinusoïde :

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L'abscisse du pic de la FFT correspond au nombre de période du signal de franges présentes dans l'image réelle. Nous pouvons donc en déduire, à l'aide des paramètres d'acquisition du système, une fenêtre de distances à l'origine sur la FFT, ou

nous pouvons nous attendre à obtenir les maximums des pics f0.

Nous pouvons donc définir une zone de recherche du maximum du pic entre kmax et kmin ou Fmax et Fmin (ce qui revient au même). l'image (b) nous montre la zone de prospection du maximum.

En choisissant judicieusement une fenêtre carrée dont le centre se trouvera sur la ligne Fmoy, et telle qu'elle ne déborde pas sur les lignes x=0 et y=0 (lignes produisant a cause des effets de bords de l'algorithme d'Iris, des pixels de forte valeurs),

nous pourrons mesurer la position du maximum du pic, et en déduire à la fois la valeur réelle de l'échantillonnage, l'angle de rotation géométrique de la fenêtre d'analyse spectrale.

La position Fmoy représente le centre de la bande passante du filtre des pixels de la caméra.

 

         - Simulation des FFT avec la dispersion spectrale du filtre et du spectre de l'étoile :(exemple de la couche rouge)

 

La relation [12] nous permet, en supposant que l'hypothèse selon laquelle les filtres de la caméra ont une largeur de bande spectrale d'environ 100nm, de déterminer sur la FFT quelle sera la largeur du pic.

Avec les paramètres de prise de vue suivants nous pouvons appréhender les positions relatives des pics sur la FFT en fonction de la fréquence spectrale :

 

Soit les paramètres suivant, si nous utilisons la relation [12] :

                                   

 

Le tableau de gauche nous montre les positions et largeurs de pic pour nos valeurs d'échantillonnage. Ces valeurs sont établies a l'aide d'un simple tableau Excel. Le graphe de droite nous montre l'équivalence entre les pixels de notre FFT et la longueur d'onde correspondante (ce qui constitue un moyen de faire de la spectro sans prisme ni réseau !!! ;-)) C'est le spectre théorique brut, que nous avons ici considéré comme plat.

Nous avions déjà constaté la variation de la position du pic en fonction de la fréquence spectrale (donc de la couleur) sur notre page relative au filtrage. Nous allons travailler sur les images rouges. Nous avons vu au début de la partie théorique de cette page,

que les coefficients de transmission spectrale du système peuvent être appréhendés par des coefficients associés aux différentes valeurs des pixels des pics de la FFT, et que nous avons arbitrairement nommés les mu(k). Ce sont en fait les coefficients de Fourier du signal réel.

Nous allons dans un premier temps, pour établir nos simulations, considérer que tout les mu(k) sont identiques et égaux à 1 à l'intérieur de la bande de transmission spectrale.

Le profil de frange résultant est alors la somme des sinusoïdes équivalentes à chaque mu(k) de la transformée de Fourier. On peut voir sur le tableau suivant, pour un échantillonnage de 4,5 pixels par franges (centré sur 0.65 microns de longueur d'onde), les profils équivalent, ainsi que leurs FFT associées pour 1, 3, 10 et 20 fréquences réparties autour d'une sinusoïde centrale :

 

1 fréquence unique 3 fréquences réparties autour de 0,65 microns                (fenêtre de 320 pixels) 9 fréquences réparties autour de 0,65 microns                (fenêtre de 320 pixels) 19 fréquences réparties autour de 0,65 microns               (fenêtre de 320 pixels)
(fenêtre de 320 pixels)

 

(fenêtre de 320 pixels)

 

(fenêtre de 320 pixels)

 

(fenêtre de 320 pixels)

 

(fenêtre de 512 pixels)

 

(fenêtre de 512 pixels)

 

(fenêtre de 512 pixels)

 

(fenêtre de 512 pixels)

 

 

Nous pouvons voir sur l'exemple précédent, que l'augmentation du nombre de fréquences présentes sur l'interférogramme à un effet d'atténuation des amplitudes des franges éloignées de la frange centrale (images de la deuxième ligne).

La première conséquence directe en est que sur l'image des franges extraites de l'image brute, il est possible d'avoir une mesure du contraste par lecture de la valeurs brute des niveaux d'intensité du maximum et du minimum de la frange au voisinage de la frange centrale sans introduire une erreur trop importante.

La deuxième conséquence est que la lecture de l'intensité sur la FFT conduit à décomposer le spectre des fréquences présentes dans le terme de franges. Nous faisons donc de la spectro sans réseau ni prisme ;-)). La dispersion des fréquences provoque une atténuation des valeurs des pics dépendante du nombre de fréquences réellement présentes dans l'interférogramme (conservation de la densité spectrale d'énergie sur la bande de fréquence). Le niveau du maximum du pic pour une longueur d'onde équivalente sera donc atténué. (image de gauche ci dessous)

 

 

 

Dans le cas idéal ou toutes les fréquences produisent la même intensité, le spectre équivalent est une fonction porte (tous les mu(k) étaient jusqu'a présent considérés comme constants). Mais l'étoile cible n'émet pas la même intensité sur toute la bande de longueur d'onde (heureusement pour les spectroscopiste !!). Le profil du pic dépend donc du spectre en émission de la source (voir courbe centrale).

La courbe de droite représente le profil de pic hors turbulence tenant compte de l'émission spectrale de Véga (le spectre à été récupéré sur l'excellente page de C. Buil : http://astrosurf.com/buil/us/vatlas/vatlas.htm ).

La simulation de mu(k) lisible sur la FFT correspondant à notre cas réel (paramètres de prise de vue, spectre de l'étoile discrétisé à la valeur de l'échantillonage) nous donnent ceci :

 

Le profil du pic dépend aussi de la transmission réelle des filtres des pixels de la camera. La courbe de réponse de la matrice est disponible sur le datasheet du constructeur :

 

  

 

En isolant la partie liée aux longueurs d'ondes dans le rouge, on obtient les valeurs des mu(k) équivalentes simulées (voir graphe de droite). La bande au sommet des images ci-dessous représente les franges simulées sur une largeur correspondant à la totalité de la largeur de l'image. Le même travail de simulation sur le filtrage, concernant le capteur d'une Audine est en cours. On peut noter la bande sombre au centre du pic correspondant (à priori) à un artéfact de calcul. L'information est tout de même présente dans la partie simulée.

 

Profil modifié par le spectre de la source

 

Zoom sur le pic simulé dans l'espace des fréquences positives

Profil modifié par la réponse du filtre de la caméra et le spectre de la source

 

Zoom sur le pic simulé dans l'espace des fréquences positives

 

Nous pouvons voir que le maximum de transmission est situé, sur la FFT, au niveau du pixel d'abscisse 150 (soit x=408 sur l'image), car le maximum de transmission se situe au environ de 620 nanomètres de longueur d'onde.

Idéalement, si nous avions la possibilité d'accéder à la totalité de la structure des franges sur la largeur de l'image, nous pourrions quasiment étudier la turbulence par élément de bande spectrale de largeur avoisinant 10 nanomètres. Malheureusement nous devons nous contenter d'une largeur de bande englobant la totalité du spectre simulé précédemment comme nous allons le voir maintenant :

Le dernier point que nous devons aborder pour compléter nos simulations et finir par appréhender les comportement des franges par une analyse de la FFT concerne la fenêtre d'analyse spectrale du système, autrement dit, le domaine à 2 dimensions, au sein duquel les franges existent.

 

       - Influence de la fenêtre d'analyse spectrale (choix de la fonction d'analyse)  :

 

Le domaine dans lequel les franges réelles sont présente dépend principalement de la forme des fenêtres d'entrée du système d'acquisition. Ce "domaine spatial" est entouré d'une zone de bruit propre à la matrice et à son environnement. Si nous appliquons une fft directe sur une image réelle contenant ce bruit, nous obtiendront une fft équivalente du bruit, noyant l'information interférométrique. Il est donc nécessaire  de "filtrer spatialement" cette image afin de ne conserver que l'information qui nous intéresse. Pour ce faire nous appliquons un masque dont la forme et le profil en intensité dépend de ce que nous souhaitons voir apparaître sur la FFT. Cette technique de "Fenêtrage" est couramment employée d'ailleurs en radio.

 

 

Le choix des dimensions du "masque fenêtre" conditionne la richesse spectrale que nous pouvons obtenir sur la FFT. En effet, si le masque est étroit (1 à Deux franges centré sur la frange centrale), ce qui apparaîtra sur le spectre fréquentiel sera la frange à contribution maximum, c'est a dire celle que nous aurons noté à l'aide du résultat brut (pour une fréquence quasi unique). Par contre une augmentation des dimensions du masque permettre d'obtenir la réponse des fréquences voisines de la fréquence centrale. Malheureusement, la limite est très vite atteinte, et le compromis taille de masque/apparition du bruit ne nous a permis dans cette étude d'englober moins d'une dizaine de frange (soit une vingtaine de pixels). Cela nous permet d'estimer le nombre de fréquences directement accessibles sur les FFT (Relation [12]):   Environ 22 pixels de largeur sur les pics de la FFT !!! Nous sommes donc très proches de la largeur spectrale des zone RVB théoriques.

 

Le deuxième paramètre conditionnant la qualité du spectre obtenu est le profil de la fenêtre utilisée. sans faire un court exhaustif de traitement du signal, les fonctions de bases utilisées dans des applications radio par exemple sont les fonctions portes, les fenêtres de Hamming, Hanning, Blackmann se référer aux cours de traitement su signal disponibles sur Internet.  Le choix de la fenêtre est un compromis entre la finesse spectrale que l'on souhaite obtenir, et l'atténuation des pics secondaires sur la FFT. Sachant qu'ici nous cherchons à détecter les maximums des pics, le fenêtrage par une fonction porte est a proscrire. En effet, la FFT d'une fonction porte est un sinus cardinal. Si nous avions une fréquence unique, l'opération de convolution décrite par la relation [3] serais simple a appréhender puisque nous aurions une recopie du sinus cardinal au niveau du pic a la fréquence considérée, avec une amplitude de 1/2 fois la dynamique de l'image. Mais comme nous ne somme pas en condition monochromatique, chaque mu(k) produit sont sinus cardinal, et affecte donc le niveau de son pic voisin... C'est très difficilement débrouillable car pour une fréquence donnée dans la FFT et une largeur de porte donnée, l'atténuation peut être due aux caractéristiques des rebonds secondaires du sinus cardinal.

L'utilisation d'une fonction de Hamming par contre permet d'atténuer de plusieurs dB les valeurs des pics voisins de la fréquence recherchée, mais ce au détriment de la finesse spectrale (le pic de la FFT de la fenêtre de Hamming est Deux fois plus large).

En ce qui nous concerne, nous recherchons un maximum de précision sur l'estimation de la valeur de l'amplitude du maximum. Sachant que comme le profil de nos pics est une convolution (relation [3]) de la FFT de la porte par les Mu(k), il faut que la forme de la FFT de la fonction porte intègre la totalité du spectre transmis pour obtenir au niveau du maximum du pic de la FFT, la valeur équivalente au contraste réel intégré sur la bande spectrale.

 

     - Détection fréquentielle :

 

Espace des (X,Y) Espace Fréquentiel Espace Fréquentiel (échelle log)

 

   

Pour appliquer la méthode de mesure directe, il ne suffit pas de simplement faire la statistique du maximum et du minimum de valeur de pixels obtenus de part et d'autre de la frange centrale. En effet, les images étant difficilement "débruitables" (pauses ultra courte, matrice non refroidie), il vaut mieux utiliser la moyenne des pixels obtenue sur chaque colonnes. Cela permet de s'affranchir de la composante aléatoire du bruit (qui malgré tout ne constitue pas un paramètre critique pour la précision de la mesure si le rapport signal/bruit est suffisant). Le logiciel IRIS possède la commande "L_ADD ", applicable aux spectres, qui permet d'obtenir une image synthétisée sur la base de la moyenne des intensités de chaque colonnes (binning bien connu des spectroscopistes).

Nous avons mis en pratique différentes fenêtres d'analyse à la fois sur les images simulées, et sur les images réelles. Les différents profils de fenêtres d'acquisition sont les suivantes :

 

 

Fenêtre

Image simulée

Image réelle (n°49 vidéo faite a Bordeaux)

Porte :

x(t)= cte

 

 

(extrait)

FFT FFT
Hamming

(extrait)

Image simulée Image réelle(n°49 vidéo faite a Bordeaux)
FFT FFT
Sinus Cardinal²

 

(extrait)

Image simulée Image réelle(n°49 vidéo faite a Bordeaux)
FFT FFT

 

 

L'image réelle utilisée pour établir la comparaison avec l'image simulée n'est pas une image exempte de turbulence. Pour obtenir une valeur vraisemblable du contraste et calibrer la mesure par la méthode de la FFT, nous allons utiliser une mesure directe, et comparer ces valeurs à celle obtenue par lecture de la valeur au pic à la fréquence f0 de la frange principale (hors dispersion spectrale puisque comme nous pouvons le voir dans le tableau précédent, l'ensemble du spectre est "noyé" dans le lobe dû à la fonction porte).

 

Aspect Quantitatif de la méthode de lecture par FFT :

 

A ce stade, on peut rappeler la méthode préconisée par Michel Faucherre dans la page d'introduction à ce site, en vue d'une lecture du contraste par analyse de la FFT :

 

"Pour mesurer |g| avec précision, prenez la Transformée de Fourier (TF) de chaque image à franges et divisez la valeur de l’intensité à la fréquence des franges par celle à la fréquence 0; le contraste normalisé |gi| est alors la valeur trouvée divisée par l’équivalent obtenu avec la source ponctuelle."

 

(2)

Soit en définissant : le contraste absolue établie par la relation (2), et le contraste normalisé par rapport à une source considérée hors turbulence (résultat des simulations) :

 

Fenêtre

Contraste méthode directe

image simulée

 F(f0)/F(0) :FFT Image simulée 

Contraste méthode directe

image réelle

F(f0)/Fref(f0) : FFT Image réelle

(n°49 vidéo faite a Bordeaux)

Porte :

x(t)= cte

 

 

 

 

91,4%

94.09%

 

 

 

Soit 42,7%

 

30.87%

32.81%

Hamming

95.08%

39,81%

41,86%

Sinus Cardinal²

93.51%

42.49%

45.44%

 

Nous obtenons donc les meilleurs résultats de lecture des contrastes par application de FFT par utilisation d'une fenêtre de type Hamming.

 

Que donne maintenant la mise en application de la méthode de lecture par les FFT sur les images réelles (n°120, 61 et 49) vues au début de cette page (j'ai rajouté la 141 et la 50 pour le plaisir) : avec F(0)=32766

  Image n°121 Image n°61 Image n°120 Image n°141 Image n°50 Image n°49
Image brute Déconvoluée
Rotation+binning+hamming
Maximum sur le pic FFT F(f0)=1177 F(f0)=1282 F(f0)=3173 F(f0)=3617 F(f0)=3673 F(f0)=6522
Résultats contraste

7,18%

7,55%

7,92%

8,22%

19,36%

20,36%

21,92%

23,22%

22,42%

23,58%

39,81%

41,86%

Résultats r0 r0=55.48mm r0=56.60mm r0=74.19mm r0=78.13 r0=78.62 r0=106.53
Incertitude sur r0 (5% sur le contraste) Delta(r0)=+/-8% Delta(r0)=+/-7% Delta(r0)=+/-5% Delta(r0)=+/-4% Delta(r0)=+/-4% Delta(r0)=+/-4%
Résultats seeing Alpha=2"95 Alpha=2"89 Alpha=2"20 Alpha=2"09 Alpha=2"08 Alpha=1"30
Incertitude sur Alpha Delta(Alpha)=+/-0,2" Delta(Alpha)=+/-0,18" Delta(Alpha)=+/-0"09 Delta(Alpha)=+/-0"08 Delta(Alpha)=+/-0"08 Delta(Alpha)=+/-0,05

 

En conclusion, de ce paragraphe, nous avons donc validé l'extraction du contraste des franges d'interférence (méthode directe et méthode de lecture de la FFT), et en vertu des équations vue ci dessus, nous avons pu obtenir une estimation du seeing équivalent sur une séquence vidéo AVI.

Un seeing-mètre à moindre coût :

La réalisation pratique ne pose aucun problème. En effet, l'intérêt de cette manip est de n'utiliser aucune pièces optiques à l'exception du télescope. Le gabarit représentant les masques en carton est disponible ici. Les dimensions sont telles que les trous sont écartés de 146mm et leur largeur respectives sont de 30mm.

 

Le pointage restant critique (le capteur de la Webcam étant petit, et ne possédant pas d'autoguideur), j'ai monté un système Flip-mirror à tirage oculaire, histoire de pouvoir recentrer l'image en cas de dépointage. Ce système est utile, mais non obligatoire :

 

 

Constitué d'un flip mirror bricolé à partir d'un diviseur optique MEADE, d'une bague d'adaptation, d'un telexetender et une baïonnette Minolta pour recevoir la Webcam, ce système d'aide au pointage facilite grandement le centrage de l'étoile cible. Heureux sont les veinards possédant un télescope pointant à quelques minutes d'arc, ça devrais  les aider à pointer facilement des étoiles cibles pour effectuer la manip.

 

   En pratique, il faut donc faire l'acquisition d'un AVI d'environ 150 images (ce sera moins lourd à traiter), peu importe le temps d'aquisition (à condition que ce dernier soit tout de même suffisamment court pour laisser apparaître les franges sur la vidéo).

Le calcul étant basé sur une distribution statistique de la turbulence de chaque image, plus le temps d'exposition sera long, moins bonne sera la valeur du seeing de chaque images.

La condition pour obtenir des franges exploitable, est que l'image ne soit saturée (pour les valeurs hautes), ni tronqué (pour les valeurs basses). En effet, les valeurs de contrastes mesurées seront erronées si le niveau du sommet des franges dépasse 255 ou si le niveau du bas des franges est inférieur à 0 (si la caméra travaille en 8 bits). En ajustant les propriétés de gain, et de contraste de la caméra, on doit obtenir des images ou le fond de ciel doit apparaître et ou les franges brillantes ne sont pas saturées.

 

Avec ces paramètres d'acquisition de franges (en terme de magnitude pour obtenir une dynamique suffisante pour avoir suffisamment de pas codeurs par frange), il est nécessaire de travailler sur des cibles brillantes, et dont le spectre est connu (voir plus loin). La webcam, idéalement doit être utilisée en mode RAW si l'on veut obtenir des images exploitables en fonction des couleurs RGB. Le traitement appliqué aux images non-RAW désagrège l'information chromatique si l'on est en condition d'échantillonnage limité (c'est a dire proche de la limite du théorème de Shannon). Autrement dit, on obtiendra au final des images dont l'échantillonnage est quasi identique pour les trois couleurs R, G et B si l'on travaille avec des images non RAW (pour plus d'explications concernant le mode raw, voir l'excellente présentation de Gilles Clément présentée aux RCE en 2006 disponible à l'adresse www.cieletespace.fr/Rce/Presentations/GillesClement/LemodeRAWdanslapratique.ppt (voir particulièrement les pages 5, 13 et 16) .

 

Nous avons malheureusement pour les mesures expérimentales établies sur cette page, utilisé des AVI en mode non Raw, ce qui, à la fois à cause de la phase de compression et de la phase d'ajustement des contours, nous à empêché de travailler sur les positions des maximums de transmission réels des filtres de la matrice de Bayer. Ce problème ne se rencontre pas dans le cas d'une caméra de type Audine ou une caméra vidéo classique.

Le traitement se décompose en 5 étapes. Cette difficulté a été contournée en prenant l'hypothèse (déjà utilisée dans la démonstration mathématique), que les fluctuations de turbulence sont homogène sur toute la partie du spectre de transmission des 3 filtres de la matrice de Bayer. Au cours de la phase de traitement, la simulation utilisée pour affiner la valeur de contraste utilisera donc la transmittance sur une bande spectrale allant sur l'ensemble du spectre visible (de 0.4 à 0.7microns de longueur d'onde).

La détection de la position du maximum du pic se fait donc comme vu précédemment, si l'on extrait les images rouges, verte et bleues en mode RAW, mais en considérant pour notre exemple de traitement que la transmittance de la caméra est la somme des transmittance des 3 filtres.

Avec les paramètres d'acquisition cités dans le tableau de gauche la courbe de transmission pour le pic de droite de la partie réelle de la FFT calculée pour l'étoile Véga avec une Toucam Pro II est la suivante :

 

 

La courbe noire représente la somme de la transmittance des trois filtres de la matrices CCD. Le maximum est situé au pixel 399 sur la FFT, ce que l'on confirme expérimentalement sur les images (image n°49 vidéo de Bordeaux) étudiées plus haut en rouge, vert et bleu.

 

Les 4 étapes du traitement décrites plus bas sont valables dans le cas d'images RAW (traitement séparé des couches rouges vertes et bleues) mais aussi dans le cas d'images non RAW.

 

Les considérations développés dans la partie théorique de cette page permettent d'envisager une procédure de lecture des contrastes de frange dans l'expérience des trous d'Young, dans le but d'obtenir soit un système simple de mesure du seeing, soit une lecture fine des valeurs de contraste sur source double ou étendue (voir théorie sur les fréquences spatiales de l'image).

La procédure de lecture peut se résumer comme suit :

 

 

Les différentes étapes d'extraction du contraste des franges se décomposent comme suit (nous y avons joint un exemple de traitement à l'aide de scripts sous Iris et d'un fichier tableur Excell) :

 

Step 1 :

On génère, dans un premier temps, la FFT de chaque image de la séquence. On extrait alors de l'image possédant le plus faible contraste (à contraste nul), et l'image possédant le plus fort contraste à l'aide d'un fichier

Batch contenant les fenêtres d'extractions définies à la main. L'image de plus faible contraste devient la fonction de démodulation des images de la séquence vidéo (Io(alpha)).

Cette image peut aussi être obtenue en utilisant une image extraite d'une séquence vidéo acquise en masquant l'une des 2 ouvertures. L'image de plus fort contraste permet d'extraire, dans la deuxième étape, la position du maximum à la fréquence f0.

Les images de la séquence vidéo sont recentrées, pour pouvoir effectuer la division par Io(alpha).

   Exemple de traitement :

La vidéo utilisée est un AVI (150 images faites à Dax) disponible ici (attention le fichier fait 13 Mo) dont on extrait les couches rouges vertes et bleues à l'aide de la fonction "conversion AVI".

 

On génère alors les FFT de la série complète, et à l'aide de la commande stat4, on choisi l'image permettant de localiser le pic de contraste maximum (ici l'image n°19), et le pic de contraste minimum (ici l'image n°90).

 

En supposant que les images de la séquence après extraction sont nommées v1.fit, v2.fit....., vX.fit, les deux commandes suivantes permettent de générer un fichiers comportant les statistiques de la fenêtre vue précédemment.

"fftd2 v re_fft i 150
stat4 re_fft 371 422 208 238 150"
Le fichier généré s'appelle "stats.lst" et contient sur la troisième colonne, les valeurs des maximums locaux sur chaque images. Ce résultat sert d'aide à la sélection des deux images de référence. Cette sélection doit malgré tout faire appel à un examen visuel (à l'aide de la commande "Selection d'images" dans le menu "visualisation" que l'on peut utiliser intercalée avec la commande "fftd r i" pour vérifier la présence des pics) pour confirmer le choix de ces images. En effet, dans le cas d'images non débruitées, le risque est important d'obtenir des maxima locaux uniquement dus à du bruit fréquentiel aléatoire. Sur la séquence étudiée, nous avons sélectionné l'image n°90

Les scripts (step1rouge.pgm, step1vert.pgm, step1bleu.pgm) réalisent les opérations pour les 3 couleurs de base

 

Step 2 :

L'ensemble de la séquence est divisée par l'image Io(alpha) afin d'obtenir les interférogrammes "bruts". C'est a partir de cette étape que nous sommes déjà en mesure de produire une lecture brute du contraste (relation [2] :  ) en prenant le maximum de la frange centrale et le minimum sur les franges sombres contiguës.

En parallèle, l'image de fort contraste permet, en utilisant à la fois les paramètres de prise de vue, puis la recherche de la position (x0,y0) du maximum à f0, d'obtenir l'échantillonnage de la frange, ainsi que la valeur de l'angle

de rotation à appliquer à l'image analysée.

  Exemple de traitement :

Les scripts (step2rouge.pgm, step2vert.pgm, step2bleu.pgm) réalisent les opérations pour les 3 couleurs de base

On procède au recentrage des images par application d'une seconde FFT sur les images re_fft obtenues au step précédent. En effet, l'utilisation d'une commande de type Pregister ne permet pas d'obtenir un recentrage suffisant pour stabiliser la valeur de contraste des franges (la commande pregister renvoie des position fortement influencées par la position du centre de la fenêtre de sélection manuelle). Le fichier "simulation step 4"disponible plus bas (voir son utilisation plus bas) permet, en fonction des paramètres de prise de vue, de se fixer une idée de la position du pic de la FFT.

On procède dans le même temps sur l'image à plus fort contraste (ici l'image 19), au relevé du maximum et l'on calcule, à l'aide des coordonnées x et y de ce maximum, l'angle de rotation à appliquer a toutes les images de la série :

"rot2 vcentrediv90_mosa_ vcentrediv90_mosa_rot_ 256 256 (angle_de rotation) 150"="rot2 vcentrediv90_mosa_ vcentrediv90_mosa_rot_ 256 256 13 150" dans notre exemple.

On génère ensuite les images réduite par le diviseur choisi à l'étape précédente (image n°90).

div2 vcentre vcentre90 vcentrediv90_ 256 100

Une opération de pré-fenêtrage nécessaire à l'opération de binning se fait ensuite au moyen de la commande : window2 vcentrediv90_mosa_rot vcentrediv90_mosa_rot_fen_ 1 246 512 266 150

 

Step 3 :

L'opération de fenêtrage est nécessaire si la construction de la fenêtre de hamming   () est périodisée au delà de la valeur T. Attention, la valeur de la largeur de fenêtrage dans cette étape doit être supérieure à celle de la fenêtre de Hamming utilisées au step suivant.

Les paramètres définis à l'étape précédente, permettent de définir la fenêtre d'analyse spectrale, c'est a dire le filtre D'(k) à appliquer à l'ensemble des interférogrammes bruts pour faire disparaître le bruit fréquentiel parasite, avant d'appliquer une FFT sur chaque images. Une fois déterminée la valeur de la largeur de la fenêtre d'analyse spectrale, l'ensemble des images de la séquence vidéo peut être traitée. Chaque image est multipliée par la fenêtre d'analyse spectrale  D'(k), et l'on extrait sa FFT ainsi que les fluctuations de ces valeurs à (x0,y0) (Il semblerai que dans le cas de nos applications, le meilleur compromis pour la forme de la fenêtre d'analyse spectrale soit une fenêtre de Hamming de 23 pixels de large).

  Exemple de traitement :

 

Nous allons maintenant détourner de sa fonction première, la commande L_ADD, afin d'obtenir le profil lissé des franges d'interférence, sur une vingtaine de ligne (ce qui est raisonnable à la vue du domaine de cohérence des franges). On s'affranchi par la du bruit fréquentiel parasite de l'image brute. Pour chaque images : "L_ADD 1 20".

La fenêtre de Hamming permettant ensuite de procéder au filtrage de la zone de cohérence est obtenue à l'aide d'un profil simulé sous un tableur. Ce tableur nous permet de générer un fichier contenant 2 colonnes : première colonne le numéro du pixel, et deuxième colonne, la valeur de l'intensité correspondant à la fenêtre de hamming. Le paramètre principal de la fenêtre est sa période (dépendante des caractéristiques d'acquisition du système). Nous avons ici choisi une période de 23 pixels (voir argumentation plus haut).

Ces 2 colonnes sont copiées dans un fichier texte, et sauvegardées sous le nom "maskhamming.dat" en oubliant pas de spécifier "tout format" dans les options de sauvegarde.

Sous Iris, on utilise alors la commande "data2pic maskhamm". On génère ainsi une image de 20 lignes de haut, servant de multiplicateur sur l'image à étudier.

L'opération de multiplication sur chaque images par le masque de Hartmann  se fait via la commande suivante :  "prod maskhamm 0.00003"

Le coefficient 0,0003 permet simplement de conserver la dynamique de l'image. On fait ensuite la FFT de la série d'image et l'on obtient le pic équivalent à la fréquence considérée.

A ce stade, il est possible d'extraire la courbe d'évolution par image du contraste absolu et donc de la valeur de r0 et du seeing. A l'aide de la commande "stat4 vcentrediv90_mosa_rot_fen_ladd_hamm 360 246 440 256 150"  ou les 4 premiers chiffres des opérandes de la commande définissent la fenêtre d'analyse.

Le script (step3.pgm) permet  de traiter des séries de 150 images.

 

Le fichier stats.lst doit ensuite être ouvert sous un tableur (Excell). L'import ne pose pas de problème. La procédure à appliquer est simple : Ouvrir le fichier  "LFQFT.xls" sous excell. Complétez alors la cellule "A2" de l'onglet "Position pic" avec la valeur de l'écartement des 2 trous exprimée en mm. Puis faire "ouvrir" le fichier de stat dans le répertoire de travail. Le fichier est un fichier texte, qui une fois ouvert comporte plusieurs colonne (voir doc d'Iris). La colonne qui nous intéresse est la troisième colonne (elle comporte les maximum du pic à la fréquence f0). Copier les valeurs de cette colonne dans le fichier "LFQFT.xls" au niveau de la colonne B6 onglet "seeing_vs_contraste".

Les résultats de seeing basés sur le contraste absolu des franges sont obtenus dans la colonne J,  et leur évolutions sur chaque image est visible dans l'onglet "Seeing complet". Attention, ce résultat n'est pas définitif, il faut extraire les valeurs réellement utilisables...(voir plus bas).

Apparaît aussi au niveau de la cellule "N13", le numéro de l'images ayant le meilleurs contraste de la série.

 

 

Step 4 :

 

L'avant dernière étape est celle qui permet d'obtenir une valeur de contraste affinée, tenant compte du spectre de la source et de la transmission du filtre utilisé pour établir la mesure, ainsi que de l'échantillonnage du système. Si cette simulation n'est pas effectuée, l'erreur sur la mesure du contraste peut atteindre 10%, ce qui nous amène à une erreur systématique sur le seeing pouvant aller jusqu'a 12% (voir paragraphe sur l'aspect quantitatif de la mesure).

C'est donc à cette étape que nous pouvons établir la valeur de contraste absolu par application de la relation [2] :  en utilisant les propriétés de la FFT de l'image. Le contraste relatif, comme vu précédemment  est alors le rapport entre le contraste de la source étudiée et celui de la même source (ici simulée) hors turbulence(). Cette compensation permet entre autre de réduire l'effet de réduction du contraste dû à l'échantillonnage (réduction pouvant atteindre 9%).

Une fois obtenu ce contraste relatif, nous pouvons passer a l'étape finale.

 

La seule difficulté de la méthode est donc dans le step 4 ou il est nécessaire de bien connaître le système d'acquisition pour avoir une simulation pertinente des franges hors turbulence. Nous effectuons donc une simulation afin d'obtenir la valeur de Fsim(f0).

 

 Exemple de traitement :

 

Comme nous l'avons vu au paragraphe  "Simulation des FFT avec la dispersion spectrale du filtre et du spectre de l'étoile" nous devons procéder à la compensation de la transmission du filtre de la caméra, du spectre de la source et de la chute de contraste due à l'échantillonnage. Dans le cas d'une caméra noir & blanc, pas de problème de détermination de la position du maximum de la transmittance de l'ensemble caméra/source en fonction de l'échantillonnage. Par contre dans le cas d'images obtenues avec une webcam, et dans un cas proche de la limite d'échantillonnage et en mode non RAW, la problématique est plus délicate. Pour obtenir le contraste relatif nous utilisons les onglets "Position Pic", "Dispersion 70 freq". Son utilisation est très simple :

Dans l'onglet "spectre étoile cible", il faut remplacer les colonnes A et B (en partant de la ligne 3, c'est a dire la zone colorée en vert pâle) par les valeurs du spectre correspondant à l'étoile considérée. Le spectre complet apparaît dans la fenêtre graphique. Dans l'onglet "Position pic", il faut introduire les paramètres d'acquisition de la vidéo : N la taille de l'image cellule "A3", l'écartement des trous cellule "B3", la focale de l'objectif cellule "C3", la focale de l'oculaire cellule "D3", le tirage oculaire cellule "E3" et la taille du pixel cellule "G3". Toutes les valeurs doivent être exprimées en millimètre.

Le fichier actuel tiens compte des coefficients de transmission des filtres de la matrice de Bayer du composant "ICX089AK" équipant la caméra utilisée. Le graphique "Courbe de transmission caméra TOUCAM Pro II" calcule la transmittance du système dans la FFT, en utilisant en abscisse le numéro du pixel indicé sur le pic situé à droite du pic central (origine des fréquences pour x=256, y=256) sur la FFT image.

Les courbes rouges, vertes et bleues correspondent évidemment aux 3 couleurs des images RVB dans le cas où les images de la séquence traitée sont acquises en mode RAW. Pour le traitement du mode non RAW, ou les composantes hautes fréquences sont dégradées par le traitement, nous avons utilisé la courbe de transmission totale (addition R+V+B) et déterminé la position du maximum. Le résultat est disponible dans la cellule U4.

Les coefficients de transmission calculés sur l'ensemble des fréquences visibles permettent de synthétiser dans l'onglet "dispertion 70 Freq" l'ensemble des sinusoïdes présentes dans l'image simulée. Le maximum de transmission (ici au pixel 401) correspond à un échantillonnage

calculé dont le résultat est à la cellule "A3". Le contraste de première frange que nous avons appelé plus haut contraste direct, calculé sur l'image simulée, est disponible en cellule "E4". Dans notre exemple, cette valeur est égale à 89,67%. Cela veut dire qu'une image théoriquement sans turbulence possède un contraste de 89,7% environ au lieu des 100% prévus. La mesure de contraste utilisable pour estimer le seeing doit donc être faite en utilisant C"relatif, c'est a dire Fsim(f0) = 0,8967*(dynamique de l'image/2).

 

Step 5 :

 

Maintenant que nous avons obtenu une série de valeur de contraste mesurées sur les images d'origine, par quel moyen pouvons nous relier ces valeurs à la mesure du seeing? Comme nous l'avons vu précédemment, il est possible de définir le seeing en mesurant la variance du déplacement relatif des images générées par un masque a 2 trous sur l'axe parallèle à ces de ces trous (fhwmpara) et sur l'axe perpendiculaire à ces trous (fwhmperp) à l'aide des relations utilisés dans le cadre d'un système DIMM :

 

[10a] et [10b]

avec

Airmass    : La masse d'air traversée par le front d'onde (en rapport à la masse d'air traversée à la verticale)
Is         : Le bruit instrumental exprimé en rad²
sigma_para   : La déviation standard en pixel le long de l'axe parallèle aux ouvertures, exprimé en pixel

sigma_perp   : La déviation standard en pixel le long de l'axe parallèle aux ouvertures, exprimé en pixel

 

et les paramètres Kperp et Kpara calculés à l'aide des relations :

et

ou tp est la distance entre les pupilles d'entrée, et dp les dimensions de ces pupilles.

En prenant l'hypothèse  = , nous pouvons calculer : .

La dernière étape consiste à retirer de l'ensemble des mesures, celle pour lesquelles la validité peut être remise en cause, c'est a dire celles dont l'écartement à 2 sigma dépasse l'échantillonnage  des franges. Nous obtenons donc dans la cellules "M28" le nombre d'image utilisable pour une estimation du seeing, et dans la cellule "M30" la proportion statistique  d'image de la série valide pour le mesure du seeing. L'onglet "Seeing_complet" permet de visualiser en jaune la courbe avant filtrage et en vert la courbe filtrée.

 

Exemple de traitement :

 

Compléter, dans l'onglet "Position Pic" la valeur "Air mass" cellule "k3". Cette valeur correspond à l'épaisseur de la couche d'air traversée par les rayons lumineux, relativement à une masse d'air égale à 1 pour un astre au Zenith. Elle dépend donc de la hauteur de l'astre sur l'horizon. Dans la version actuelle du fichier, cette valeur n'est pas calculée, mais tout les calculs ont été fait  pour une masse d'air de 1,5.

 

La synthèse suivante nous montre comment traiter de manière complète, une séquence AVI en mode non RAW.

 

       Synthèse du traitement :

 

Prérequis :

 

Constituez un répertoire de travail comportant les fichiers suivants :

La vidéo au format Avi à traiter

Pour l'étape 1, le script iris  step1vert.pgm

Pour l'étape 2, le script iris  step2vert.pgm

Pour l'étape 3, Le script step3.pgm, et l'image du masque de Hamming calculé comme précisé dans l'explication du step3

le fichier "LFQFT.xls" pour les résultats bruts.

 

Procédure :  Nous allons ici traiter l'exemple de la couche verte

 

Lancer le logiciel Iris.

Dans le menu "Fichier / Réglages", configurer le "chemin du répertoire de travail"  pour pointer sur le répertoire contenant les fichiers définis précédemment.

A l'aide de la commande "conversion AVI", extraire de l'AVI à étudier, les images r, v et b.

Avec la commande "Selection d'image", sur la série des images v, prendre la première image laissant apparaître les franges. Faire une FFT de cette image : "FFTD r i".

Définir les coordonnées de la fenêtre qui va servir à analyser les statistiques du pic à la fréquence f0 sur les FFT (appelons X1, X2, Y1, Y2). Une fenêtre rectangulaire autour du pic à droite du centre de l'image, et de 60x60 pixels fait l'affaire fait l'affaire.

Ouvrir à l'aide du bloc note le fichier step1vert.pgm de manière à introduire les coordonnées de cette fenêtre (remplacer "stat4 re_fft 371 208 422 238 150" par "stat4 re_fft X1 Y1 X2 Y2 150"). Ne pas oublier de sauvegarder le fichier en faisant "enregistrer sous" avec le nom  "step1vert.pgm", "type : tout les fichiers".

Lancer sous iris dans une fenêtre de commande : "run step1vert".

Ouvrir le fichier de statistiques généré par la commande précédente (ce fichier s'appelle stats.lst), sous Excell.

Trier les valeurs de la troisième colonne, correspondant aux maximums d'intensité du pic sur la FFT (commande ).

Relever, les 10 images ayant le plus fort contraste. Choisir, à l'aide d'Iris, par la commande "sélection d'images", celle pour laquelle les franges semblent être les plus apparentes, et dont la valeur mesuré statistiquement n'est pas issue d'un bruit parasite. Soit Nmax le numéro de cette image

Faire de même avec les 10 images de plus faible contraste. Choisir, à l'aide d'Iris, par la commande "sélection d'images",  celle pour laquelle les franges semblent être complètement absentes. soit Nmin le numéro de cette image.

Charger la FFT de l'image de plus fort contraste ("load RE_FFT Nmax).

Relever la position du maximum du pic de droite (Xmax, Ymax).

Calculer l'angle de rotation à appliquer à la séquence pour positionner les franges verticales. Pour ce faire, avec la calculatrice de Windows, faire l'opération inv(tan((Ymax-256)/(Xmax-256))). L'angle (alpharot) obtenu doit être exprimé en degrès. Attention !! faire attention au signe de l'angle de  rotation, le but est d'obtenir des franges verticales. Si le pic est au dessus de l'axe de la FFT, l'angle de rotation est - alpharot.

Calculer la distance à laquelle se trouve ce maximum du centre de l'image (dist=racine((Xmax-256)²+(Ymax-256)²)

Ouvrir à l'aide du bloc note le fichier step2vert.pgm

Introduire le numéro de l'image à  utiliser comme diviseur (remplacer "div2 vcentre vcentre90 vcentrediv90_mosa_ 256 150" par "div2 vcentre vcentre(Nmin) vcentrediv90_mosa_ 256 150").

Modifier l'angle de rotation (avec le bon signe !!) à appliquer à la séquence (remplacer "rot2 vcentrediv90_mosa_ vcentrediv90_mosa_rot_ 256 256 13 150" par "rot2 vcentrediv90_mosa_ vcentrediv90_mosa_rot_ 256 256 alpharot 150"). Ne pas oublier de sauvegarder le fichier en faisant "enregistrer sous" avec le nom  "step2vert.pgm", "type : tout les fichiers".

 Lancer sous iris dans la fenêtre de commande : "run step2vert".

Ouvrir à l'aide du bloc note le fichier step3.pgm

Modifier la valeur du centre de la fenêtre d'analyse statistique dans la commande Stat4 en fonction de la valeur de la distance calculée précédemment. Remplacer  "stat4 vcentrediv90_mosa_rot_fen_ladd_hamm 360 246 440 256 150" par "stat4 vcentrediv90_mosa_rot_fen_ladd_hamm (256+dist-40) 246 (256+dist+40) 256 150"

Ne pas oublier de sauvegarder le fichier en faisant "enregistrer sous" avec le nom  "step3.pgm", "type : tout les fichiers".

Fermer le fichier stat.lst ouvert sous Excell sans sauvegarder. Sans cette étape, le step3.pgm ne marche pas.

Lancer sous iris dans la fenêtre de commande : "run step3".

Ouvrir a l'aide d'Excell, le fichier stats.lst ainsi obtenu.

Copier les 150 valeurs de l'intensité de la colonne B

Ouvrir le fichier "LFQFT.xls".

Compléter la valeur de l'écartement dans l'onglet "Position pic" en mm en cellule B2.

Dans l'onglet seeing_vs_contrast, coller les cellules à partir de B6. Les résultats non compensés sont accessibles dans la colonne J.

Dans l'onglet "Spectre de l'étoile cible", copier les valeurs de lambda dans la colonne A, et les valeurs du spectre dans la colonne B. Nous avons ici par défaut, introduit le spectre de l'étoile Véga

Dans l'onglet "Position pic", compléter les valeurs correspondante dans les cellules en vert pâle (A, B, C, D, E, F et G-3). Le fichier, sur la base des coefficient de transmission des filtres de la camera Toucam pro II calcule la courbe de transmission équivalente pour chaque couleurs. Le maximum du pic de transmission est donné à la cellule "U4". Dans l'onglet "dispersion 70freq", la cellule "A3" donne l'échantillonnage équivalent obtenu au maximum de transmission du pic. La valeur du contraste absolu simulé est donné dans la cellule "E4". On peut noter que cette compensation est d'autant plus importante, que le seeing est bon.

Pour les images dont le critère de validité est atteint, on obtient la valeur du paramètre de Fried  par image dans la colonne H.

 

Nous pouvons donc en utilisant cette méthode, extraire le contraste équivalent sur une séquence d'acquisition de 30 secondes. Nous avons donc essayé de mettre cette méthode à l'épreuve :

Résultats expérimentaux :

Pour mettre à l'épreuve cette méthode, nous avons analysé plusieurs vidéo enregistrées sur différents sites en France (plus particulièrement dans le Sud Ouest, à ce sujet, je remercie particulièrement Philippe Dupouy pour sa participation à l'expérience)

En appliquant la procédure de lecture précédente, ainsi qu'en appliquant les relations (11) et (12), nous pouvons normaliser les valeurs de contraste, et nous obtenons les seeing instantanés (vidéos faites à Bordeaux (33),Dax (40), Pau (64) et Riberac(24)).

 

La première extraction à été obtenue par la méthode des contrastes bruts. On constate une légère disparité dans les valeurs mesurées et il arrive que le contraste sur les images rouges devienne meilleurs que le contraste dans le vert. Nous avons donc aussi un phénomène chromatique qui laisserai penser que la fluctuation de phase n'est pas homogène dans une large bande de turbulence.

Le seeing étant généralement mesuré pour le vert (0.55microns), la courbe suivante nous montre une comparaison des 4 sites sur lesquels ont été faites les vidéos à cette longueur d'onde :

 

 

Malheureusement, un approfondissement dans le dépouillement des mesures faites sur le site de Ribérac montre que les statistiques, si elles ne sont pas issues du traitement par le filtre du step 5 (voir plus haut), plafonnent aux valeurs minimales de contraste. Cela est du au fait que le contraste dépend fortement de l'échantillonnage de la frange et donc de l'écartement des 2 trous. Seules les valeurs issues du traitement par le step 5 peuvent être considérées comme valides dans l'estimation du seeing.

Nous obtenons donc les résultats suivants :

 

 

 

 

Une approche tenant compte de la variation d'écartement des trous à aussi été tentée, lors des acquisitions faites a Ribérac :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conclusion et perspectives :

 

En conclusion, nous avons établi une méthode d'estimation du seeing par méthode interférométrique de manière simple (pas de pièces optiques supplémentaire par rapport a ce que l'on à l'habitude d'utiliser en astro, c'est a dire téléscope, webcam, et une peu d'huile de coude pour le traitement ;-))

 

Attention, il ne faut pas perdre de vue que nous utilisons une méthode d'estimation statistique de la turbulence. En effet, il s'agit d'un "seeing équivalent" pendant une pose de durée courte (il conviendrait peut-être de dire pour chaque mesure que le seeing est estimé à xx secondes, avec des temps d'exposition de tt millisecondes pour être rigoureux), durant laquelle la phase à le temps de bouger. On peut intuitivement estimer que plus le temps d'exposition sera court, meilleurs sera le seing équivalent.

 

 

Quels en sont les avantages :

 

Simple a mettre en oeuvre, il suffit de se faire des masques en carton de dimension choisies. Il convient donc de faire une mesure avec des masques de dimension différentes si l'on veut obtenir des mesures fines au voisinage des grandes valeurs de Alpha(seeing). Sinon, il suffit de constater que le seeing estimé est supérieur à la limite donnée par la valeur du contraste lu.
Permet d'obtenir une information proche de celle obtenue avec un système de Type DIMM (voir publication [8]), puisque permettant d'accéder à la variance de la phase).

L'estimation de la valeur du contraste ne produit généralement pas une incertitude de plus de 10% (soit +/-5% au total). Ce qui nous permet de dire conformément au tableau précédent, que nous obtenons une incertitude moyenne inférieure à 10%  sur une plage de valeurs de contraste de 5 à 80%. Cette méthode semble donc être particulièrement fine (même si le but premier n'est pas de faire un seeing mètre, mais d'envisager la perturbation d'une mesure de contraste interférométrique sur une source double ou étendue).

 

Les inconvénients en terme de seeing mètre pur :

 

La méthode utilise l'approche de D.L. Fried développée dans la publication [6], selon l'hypothèse de temps d'exposition court, avec une longueur de propagation du rayon lumineux courte (condition de champs proche). Cette méthode conserve une imprécision Importante lorsque le rapport de la distance entre les deux ouvertures du masque et le rayon de la tache de Fried (D/r0) (Rappelons ici d'ailleurs que contrairement à son nom, ce rayon est en fait le diamètre de la zone d'isoplanétisme du front d'onde), se rapproche de 1.

Nous sommes, avec des écartements de fentes de quelques dizaine de mm à 150mm, dans le coude de la courbe C. Cela signifie que la relation permettant de passer de C"(f0) vers r0 (la relation liant C"(f0) avec la variance de la phase est correcte) doit être affectée d'un coefficient de correction dont la valeur passe de 1 (si D/r0>10) à 0,5 (si D/r0<0,5). L'incertitude croit donc jusqu'a atteindre un facteur 2 sur la valeur de r0 si l'écartement des fentes est très proche de la tache de Fried.

Pour compenser cela, la méthode décrite ici utilise la détermination de la fluctuation statistique de phase par le contraste de frange. On réinjecte ensuite ce résultat dans les relations utilisées dans un DIMM. Cela se fait au prix de 2 hypothèses  :

- la variation de phase est uniquement considérée sur l'axe parallèle aux trous. Il faut donc la considérer comme identique sur l'axe perpendiculaire aux trous

- la fluctuation de phase est considérée dans un intervalle modulo [0..2Pi], qui dépend de l'échantillonnage du système complet. Cela force donc à rejeter un certain nombre de valeurs, plus particulièrement celles d'un seeing vraiment mauvais. La mesure n'est valide que pour des valeurs de seeing inférieure a 2,5" ou 3".

On ne peut donc estimer quantitativement que des "bon seeing"....

 

Il faut une excellente connaissance du système d'acquisition en terme spectral (longueur d'onde du maximum de transmission du système d'acquisition). Si l'on est imprécis sur la valeur du lambda maximum auxquels sont mesurables les franges, les incertitudes dans la mesure du seeing qui en découlent peuvent atteindre plusieurs dizaine de %

 

En terme de perspectives, on peut citer dans les projets en cours :

Actuellement, la partie lourde du traitement se fait à l'aide d'outils puissant, mais peu adaptés. Je ne désespère pas de pouvoir un jour ou l'autre mettre tout ce traitement sous forme d'un programme de traitement simple d'une séquence vidéo.
En tout état de cause, cette méthode doit être mise a l'épreuve d'une comparaison avec une méthode déjà éprouvée (DIMM par exemple) pour voir si l'on est ici complètement en dehors des clous (même si la théorie nous laisse entendre que la méthode est correcte).
Des essais doivent être poursuivi pour déterminer si le traitement RAW des images permet d'extraire une différence significative de comportement des valeurs de seeing estimés à l'aide de cette méthode, en fonction des maximums de transmission spectrales des filtres de la matrice de Bayer de la caméra.
En dernier lieu, il serais intéressant de procéder au traitement sur des images acquises avec une vraie caméra vidéo type WATEC afin de travailler dans des gammes de sensibilités permettant de faire de véritable cartographies du seeing d'un site en fonction de l'azimut et de la hauteur sur l'horizon, c'est a dire en ne se contentant pas d'étoiles très brillantes, mais en choisissant des cibles de magnitudes moyennes, et donc de positions variées dans un intervalle de temps relativement court (< 1 heure).
Il doit être intéressant de procéder à des analyses des histogrammes respectifs de chaque vidéo conformément à la publication de Bonneau[9].

Les perspectives sont nombreuses, en ce qui concerne notamment la possibilité de se donner une idée de la qualité d'un site, mais la méthode dégagée autour de cette étude permettra peut-être d'aller plus loin dans le domaine de l'interférométrie amateur, au moins pour ce qui est de comprendre quels sont les facteurs qui limitent ou diminuent la valeur du contraste que l'ont pourrais mesurer sur une source double, ou étendue (des travaux sont en cours sur une système à poutre de Michelson).

 

Bibliographie :

[1] M. FRANCON, S. SLANSKI "Cohérence en optique" 1965, Éditions du CNRS

[2] F. RODDIER, P. LENA "Long-baseline Michelson interferometery with large ground-based telescopes operating at optical wavelength I" 1984, Journal of optics (Paris) Vol 15, n°4. pp. 171-182

[3] C. RODDIER, F. RODDIER "Interferogram analysis using Fourier transform techniques" 1987, Applied optics, Vol 26, n°9 p1668-1673

[4] D.L. FRIED "Limiting resolution looking down through the atmosphère" 1966, Journal of the optical society of america, Vol 56 n°10 pp. 1380-1384

[5] F. RODDIER "Les effets de la turbulence atmosphérique sur la formation des images visibles et infrarouges" 1979, Journal of optics (Paris) Vol 10, n°6, pp.299-303

[6] D.L. FRIED "Optical resolution through a randomly inhomogeneous medium for very long and very short exposures" 1965, Journal of the optical society of america, Vol 56 n°10 pp. 1372-1379

[7] D.L. FRIED "Statistic of a geometric representation of wavefront distortion" 1965, Journal of the optical society of america, Vol 55 n°11 pp. 1427-1435

[8] J. VERNIN, C. MUÑOZ-TUÑON "Measuring astronomical seeing: the DA/IAC DIMM" 1995, Publication of the astronomical society of pacific 107, pp. 265-272

[9] D. BONNEAU "Expérience acquise en interférométrie optique à 2 télescopes" 1979, Journal of optics (Paris) Vol 10, n°6, pp.311-316

[10] R HANDBURRY BROWN "The Intensity Interferometer" 1974, Taylor & Francis Ltd

 

[11] C.RODDIER, F. RODDIER "Seeing effect removal in a Michelson Interferometer", J. Opt. Soc. Am., vol. 66, n°12, December 1976

 

[12] M. SARAZIN, F. RODDIER, "The ESO differential image motion monitor", Astron. Astrophys. 227, 294-300 (1990)

 

[13] D.F. FRIED "Probability of getting a lucky short-exposure image through turbulence", J. Opt. Soc. Am., vol. 68, n°12, December 1978

 

Dernière mise à jour : 10/06/2007